שילוב עם חזרה: מתי להשתמש ונוסחה

אנחנו יודעים איך שילוב עם חזרה כאשר, בעל סט Ç עם לא אלמנטים, אנחנו יוצרים סטים חדשים, מודים איתם חזרות ק אלמנטים, כולם שייכים לסט Ç. השילוב עם החזרה, ידוע גם כשילוב מלא, הוא סוג של קיבוץ של ניתוח קומבינטורי.

לימוד קיבוץ מסוג זה אפשר לפתח נוסחה המקלה על חישוב השילוב עם החזרה. אפשר לקשור את השילוב עם החזרה לשילוב פשוט באמצעות נוסחה. ההבדל בין השילוב עם החזרה לבין השילוב הפשוט, כפי שהשם מרמז, הוא שבראשון מניחים שהאלמנטים חוזרים על עצמם בתת-הקבוצה, ובשני לא.

קראו גם: מהו הסדר עם חזרה?

מה השילוב עם החזרה?

במשחקי קלפים, השילוב עם החזרה נוכח מאוד.

שילוב עם חזרה או שילוב מלא הוא אחד מכמה סוגים של קבוצות אפשריות הנלמדות בניתוח קומבינטורי. על להגדיר עם לא אלמנטים, נמצא את כמות הקבוצות הלא מסודרות שנוכל ליצור איתו ק אלמנטים, כולם שייכים לסט, בידיעה זאת ניתן לבחור את אותו אלמנט יותר מפעם אחת.

הנה מצב הכולל שילוב עם חזרה: בהינתן קבוצה {A, B, C, D}, נמצא את כל הקבוצות האפשריות עם שני אלמנטים.

אנחנו יודעים את זה, בסט, סדר האלמנטים אינו חשוב, כלומר, {A, B} ו-{B, A} יוצרים את אותה קבוצה. יתר על כן, מכיוון שמדובר בשילוב עם חזרה, ניתן לחזור על אותו אלמנט של הסט, כך שהשילובים האפשריים הם:

{א, א}; {ב, ב}; {ג, ג}; {ד, ד}; {א, ב}; {א, ג}; {מוֹדָעָה}; {לִפנֵי הַסְפִירָה}; {ב, ד}; {CD}

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום ;)

נוסחת שילוב עם חזרה

בבעיות מתמטיות, העניין הוא לרוב לא לרשום את כל הקבוצות האפשריות, אלא ב לחשב את מספר הקבוצות האפשריות, או לחישובי הסתברות עתידיים, או ליצירת סטטיסטיקה כלשהי, או ליישום אחר. לשם כך, אנו משתמשים בנוסחה.

בסט עם לא אלמנטים שנלקחו מהם ק ב ק, אנו מחשבים את השילוב המלא או השילוב עם חזרה באמצעות הנוסחה:

CR: שילוב עם חזרה

לא: מספר אלמנטים בסט
ק: מספר אלמנטים בכל קיבוץ מחדש

נוסחה חשובה נוספת לחישוב השילוב עם החזרה היא זו מקשר בין התאמה בודדת להתאמה חוזרת:

אנו משתמשים בנוסחה זו כדי להפוך שילוב עם חזרה ל-a שילוב פשוט.

שלב אחר שלב כיצד לחשב את המספר של שילוב עם חזרה

כדי לחשב את מספר השילובים האפשריים, המאפשרים חזרות, יש צורך למצוא את הערך של לא זה מ ק ומחליף בנוסחה.

דוגמא:

באמצעות הדוגמה הקודמת של הסט, {A, B, C, D}, כדי לחשב את השילוב עם החזרה על מונחים אלה שנלקחו מ-2 עד 2, יש לנו:

1 מצאנו את הערך של לא זה מ ק:

לא = 4

ק = 2

2 החלפנו בנוסחה של שילוב עם חזרה:

ראה גם: כיצד לחשב סידור פשוט?

תרגילים שנפתרו

שאלה 1 - העונה שהכי מחממת את שוק מכירת השוקולד היא חג הפסחא, כשחושבים על זה, מפעל שוקולד בפנים מגואיאס, החליטה לחדש בייצור שוקולד על ידי יצירת טעמי ביצי פסחא, עם פירות סראדו כמו רכיבים. הטעמים שנוצרו היו שוקולד מריר עם בקופרי-דו-סרדו, שוקולד חלב עם פרה-דו-קמפו, שוקולד לבן עם Murici, שוקולד לבן עם בארו, ושוקולד מריר עם בוריטי. לקוח החליט ללכת לחנות הזו כדי לקנות ביצת פסחא אחת לכל אחד משלושת אחיו. בידיעה זו, מספר הדרכים השונות שבהן לקוח זה יכול לבחור את ביצי הפסחא הללו הוא:

א) 20

ב) 22

ג) 25

ד) 32

ה) 35

פתרון הבעיה

חלופה E

שימו לב שההזמנה, במקרה זה, אינה חשובה וגם שהלקוח יכול לבחור לקנות 2 או 3 ביצי פסחא באותו הטעם, מה שהופך את הבעיה הזו לקשורה לשילוב עם חזרות.

ישנם חמישה טעמים זמינים, והלקוח יבחר 3 ביצי פסחא, אז עלינו:

לא = 5

ק = 3

החלפה בנוסחה של השילוב עם חזרה, עלינו:

שאלה 2 - חנות מציעה 3 טעמים אפשריים של מיצים, הם: תפוז, לימון ואננס. לדעת זאת, מספר הדרכים השונות שבהן לקוח יכול להזמין 4 מיצים הוא:

א) 12

ב) 15

ג) 18

ד) 20

ה) 22

פתרון הבעיה

חלופה ב'

ישנם 3 טעמים ומיץ אפשריים, ואנו ניצור סטים עם 4 טעמים, ובמקרה זה ניכר כי סט מודה בחזרות, ושהסדר אינו רלוונטי, מה שהופך את המצב הזה לשילוב עם חזרה. כדי לחשב, עלינו:

לא = 3

ק = 4

מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה