חוק קוסינוס: יישום, דוגמאות ותרגילים

ה חוק קוסינוס משמש לחישוב המידה של צד אחד או זווית לא ידועה של משולש כלשהו, ​​תוך הכרת המדדים האחרים שלו.

הצהרה ונוסחאות

משפט הקוסינוס קובע כי:

"בכל משולש, הריבוע בצד אחד הוא סכום הריבועים בשני הצדדים האחרים, פחות כפול מהתוצר של שני הצדדים על ידי הקוסינוס של הזווית ביניהם.."

לפיכך, על פי חוק הקוסינוסים יש לנו את היחסים הבאים בין צלעותיו וזוויותיו של משולש:

דוגמאות

1. שני צדי משולש נמדדים 20 ס"מ ו 12 ס"מ ויוצרים זווית של 120 ° ביניהם. חשב את המדידה של הצד השלישי.

פִּתָרוֹן

כדי לחשב את מידת הצד השלישי נשתמש בחוק הקוסינוסים. לשם כך, בואו ניקח בחשבון:

b = 20 ס"מ
c = 12 ס"מ
cos α = cos 120º = - 0.5 (ערך שנמצא בטבלאות טריגונומטריות).

החלפת ערכים אלה בנוסחה:

ה² = 20² + 12² - 2. 20. 12. (- 0,5)
ה² = 400 + 144 + 240
ה² = 784
a = √784
a = 28 ס"מ

אז הצד השלישי מודד 28 ס"מ.

2. קבע את מידת הצד AC ואת מידת הזווית עם קודקוד A מהאיור הבא:

ראשית, נקבע AC = b:

ב² = 8² + 10² – 2. 8. 10. במקום ה -50
ב² = 164 – 160. במקום ה -50
ב² = 164 – 160. 0,64279
ב .8 7.82

עכשיו, בואו נקבע את מידת הזווית לפי חוק הקוסינוסים:

8² = 10² + 7,82² – 2. 10. 7,82. חַסַת עָלִים
64 = 161.1524 - 156.4 cos Â
cos  = 0.62
 = 52º

הערה: כדי למצוא את הערכים של זוויות הקוסינוס אנו משתמשים ב- טבלה טריגונומטרית. בתוכנו, יש לנו ערכים של זוויות מ -1 עד 90 מעלות לכל פונקציה טריגונומטרית (סינוס, קוסינוס ומשיק).

יישום

ניתן להחיל את חוק הקוסינוס על כל משולש. היה זה זווית חדה (זוויות פנימיות פחות מ 90 °), זווית עמומה (עם זווית פנימית גדולה מ 90 °), או מלבן (עם זווית פנימית שווה ל 90 °).

ייצוג של משולשים מבחינת הזוויות הפנימיות שלהם

מה עם המשולשים המלבניים?

בואו להחיל את חוק הקוסינוסים על הצד שממול לזווית של 90 °, כמפורט להלן:

ה² = ב² + ג² - 2. ב. ç. cos 90º

כאשר cos 90º = 0, הביטוי שלמעלה הופך להיות:

ה² = ב² + ג²

וזהה לביטוי של משפט פיתגורס. לפיכך, אנו יכולים לומר כי משפט זה הוא מקרה מסוים של חוק הקוסינוסים.

חוק הקוסינוס מתאים לבעיות בהן אנו מכירים שני צדדים ואת הזווית ביניהם ואנחנו רוצים למצוא את הצד השלישי.

אנו עדיין יכולים להשתמש בו כאשר אנו מכירים את שלושת צלעות המשולש ורוצים להכיר את אחת הזוויות שלו.

במצבים בהם אנו יודעים שתי זוויות ורק צד אחד ורוצים לקבוע צד אחר, נוח יותר להשתמש ב- חוק החטאים.

הגדרת Cosine ו- Sine

הקוסינוס והסינוס של זווית מוגדרים כ- יחסים טריגונומטריים במשולש ימני. הצד שמול הזווית הנכונה (90º) נקרא היפוטנוזה ושני הצדדים האחרים נקראים הרגליים, כפי שמוצג באיור להלן:

ייצוג המשולש הימני וצידיו: ירכיים והיפוטנוזה

לאחר מכן קוסינוס מוגדר כיחס בין מדידת הרגל הסמוכה להיפוטנוזה:

לעומת זאת הסינוס הוא היחס בין מדידת הרגל הנגדית להיפוטנוזה.

תרגילי בחינת כניסה

1. (UFSCar) אם צדי המשולש מודדים x, x + 1 ו- x +2, אז עבור כל אחד מהם איקס אמיתי וגדול מ -1, הקוסינוס של הזווית הפנימית הגדולה ביותר של משולש זה שווה ל:

א) x / x + 1
ב) x / x + 2
ג) x + 1 / x + 2
ד) x - 2 / 3x
ה) x - 3 / 2x

ראה תשובה

חלופה e) x - 3 / 2x

2. (UFRS) במשולש המיוצג באיור למטה, ל- AB ו- AC יש אותו מידה, והגובה יחסית לצד BC שווה ל- 2/3 מהמידה של BC.

בהתבסס על נתונים אלה, הקוסינוס של הזווית CÂB הוא:

א) 25/7
ב) 20/7
ג) 4/5
ד) 5/7
ה) 5/6

ראה תשובה

חלופה א) 25/7

3. (UF-Juiz de Fora) שני צדדים של משולש מודדים 8 מ 'ו -10 מ' ויוצרים זווית של 60 °. הצד השלישי של המשולש הזה מודד:

א) 2√21 מ '
ב) 2√31 מ '
ג) 2√41 מ '
ד) 2√51 מ '
ה) 2√61 מ '

ראה תשובה

חלופה א) 2√21 מ '

קרא עוד על הנושא:

• טְרִיגוֹנוֹמֶטרִיָה
• טריגונומטריה במשולש המלבן
• תרגילי טריגונומטריה במשולש הימני
• יחסים טריגונומטריים
• מעגל טריגונומטרי
• פונקציות טריגונומטריות