פונקציה אקספוננציאלית: 5 תרגילים שהעירו

ה פונקציה מעריכית הוא כל פונקציה של ℝ ב ℝ^*_+, מוגדר על ידי f (x) = a^איקס, כאשר a הוא מספר ממשי, גדול מאפס ולא שווה ל -1.

נצל את התרגילים שהוענקו כדי לנקות את כל ספקותיך לגבי תוכן זה והקפד לבדוק את הידע שלך בשאלות שנפתרו בתחרויות.

תרגילי תגובה

תרגיל 1

קבוצת ביולוגים בוחנת התפתחות מושבה מסוימת של חיידקים מצא שבתנאים אידיאליים ניתן למצוא את מספר החיידקים באמצעות הביטוי N (t) = 2000. 2^{0.5 ט}, להיות t בעוד שעות.

בהתחשב בתנאים אלה, כמה זמן לאחר תחילת התצפית יהיה מספר החיידקים שווה ל 8192000?

פִּתָרוֹן

במצב המוצע אנו יודעים את מספר החיידקים, כלומר אנו יודעים כי N (t) = 8192000 ואנחנו רוצים למצוא את הערך של t. לכן, פשוט החליפו ערך זה בביטוי הנתון:

כדי לפתור משוואה זו, בואו נכתוב את המספר 4096 בגורמים ראשוניים, מכיוון שאם יש לנו את אותו הבסיס, אנו יכולים להשתוות למעריכים. לכן, אם ניקח בחשבון את המספר, יש לנו:

לפיכך, בתרבית יהיו 8 192,000 חיידקים לאחר יום אחד (24 שעות) מתחילת התצפית.

תרגיל 2

לחומרים רדיואקטיביים יש נטייה טבעית, לאורך זמן, להתפורר ממסתם הרדיואקטיבית. הזמן שלוקח למחצית ממסתו הרדיואקטיבית להתפרק נקרא מחצית החיים שלו.

כמות החומר הרדיואקטיבי של אלמנט נתון ניתנת על ידי:

להיות,

N (t): כמות החומר הרדיואקטיבי (בגרמים) בזמן נתון.
נ₀: כמות החומר הראשונית (בגרמים)
T: זמן מחצית חיים (בשנים)
זמן: (שנים)

בהתחשב בכך שמחצית החיים של אלמנט זה שווה 28 שנים, קבע את הזמן הדרוש לחומר הרדיואקטיבי להפחתה ל -25% מכמותו הראשונית.

פִּתָרוֹן

למצב המוצע A (t) = 0.25 A.₀ = 1/4 א₀כדי שנוכל לכתוב את הביטוי הנתון, ולהחליף את T ב 28 שנים, ואז:

לכן, ייקח 56 שנים עד להפחתת כמות החומר הרדיואקטיבי ב -25%.

שאלות תחרות

1) Unesp - 2018

איבופרופן הוא תרופה שנקבעה לכאבים וחום, עם מחצית חיים של כשעתיים. משמעות הדבר היא, למשל, לאחר שעתיים של בליעת 200 מ"ג איבופרופן, רק 100 מ"ג מהתרופות יישארו בזרם הדם של המטופל. לאחר שעתיים נוספות (4 שעות בסך הכל), רק 50 מ"ג יישאר בזרם הדם וכן הלאה. אם מטופל מקבל 800 מ"ג איבופרופן כל 6 שעות, כמות התרופה שתישאר בזרם הדם במשך השעה ה -14 לאחר נטילת המנה הראשונה תהיה

א) 12.50 מ"ג
ב) 456.25 מ"ג
ג) 114.28 מ"ג
ד) 6.25 מ"ג
ה) 537.50 מ"ג

ראה תשובה

מכיוון שכמות התרופות הראשונית בזרם הדם כל שעתיים מחולקת לחצי, אנו יכולים לייצג מצב זה באמצעות התוכנית הבאה:

שים לב שהמערך, בכל סיטואציה, שווה לזמן חלקי 2. לפיכך, אנו יכולים להגדיר את כמות התרופות בזרם הדם כפונקציה של זמן, תוך שימוש בביטוי הבא:

להיות

ש (t): הכמות בשעה נתונה
ש₀: הסכום הראשוני שנבלע
t: זמן בשעות

בהתחשב בכך שנלקחו 800 מ"ג איבופרופן כל 6 שעות, יש לנו:

כדי למצוא את כמות התרופות בזרם הדם 14 שעות לאחר בליעת המנה הראשונה, עלינו להוסיף את הכמויות המתייחסות למינון הראשון, השני והשלישי. לחישוב כמויות אלה יש לנו:

כמות המנה הראשונה תימצא בהתחשב בזמן השווה ל- 14 שעות, כך שיש לנו:

עבור המנה השנייה, כפי שמוצג בתרשים לעיל, הזמן היה 8 שעות. החלפת ערך זה יש לנו:

זמן המינון השלישי יהיה שעתיים בלבד. הסכום הקשור למנה השלישית יהיה אז:

כעת, כשאנו יודעים את הכמויות עבור כל מנה שנבלעה, אנו יכולים למצוא את הסכום הכולל על ידי הוספת כל אחד מהכמויות שנמצאו:

ש_{סך הכל}= 6.25 + 50 + 400 = 456.25 מ"ג

חלופה ב) 456.25 מ"ג

2) UERJ - 2013

אגם ששימש לאספקת עיר זוהם לאחר תאונת תעשייה והגיע לרמת הרעילות T₀, המקביל לעשר פעמים מהרמה הראשונית.
קרא את המידע שלהלן.

• הזרימה הטבעית של האגם מאפשרת התחדשות של 50% מנפחו מדי עשרה ימים.
• ניתן לחשב את רמת הרעילות T (x), לאחר x ימי התאונה, באמצעות המשוואה הבאה:

שקול את D למספר הקטן ביותר של השעיית אספקת המים, הדרוש לחזרת הרעילות לרמה הראשונית.
אם יומן 2 = 0.3, הערך של D שווה ל:

א) 30
32
34
ד) 36

ראה תשובה

כדי לחזור לרמת הרעילות הראשונית יש צורך:

החלפת ערך זה בפונקציה הנתונה, יש לנו:

הכפלת ב"צלב ", המשוואה הופכת ל:

2 ^0.1x= 10

בואו נמרח את לוגריתם הבסיס 10 על שני הצדדים כדי להפוך אותו למשוואת מדרגה 1:

יומן (2^0.1x) = יומן 10

כזכור כי היומן של 10 בבסיס 10 שווה ל- 1, המשוואה שלנו תיראה כמו:

0.1x. יומן 2 = 1

בהתחשב ביומן 2 = 0.3 והחלפת ערך זה במשוואה:

לפיכך, מספר הימים הקטן ביותר, בערך, יש להשהות את ההיצע הוא 34 יום.

חלופה ג) 34

3) פובספ - 2018

בואו f: ℝ → ℝ ו- g: ℝ₊ → ℝ מוגדר על ידי

בהתאמה.

הגרף של הפונקציה המורכבת g_ºאֱמוּנָה:

ראה תשובה

הגרף שאתה מחפש הוא הפונקציה המורכבת g_ºלכן, הצעד הראשון הוא קביעת פונקציה זו. לשם כך עלינו להחליף את הפונקציה f (x) ב- x של הפונקציה g (x). על ידי ביצוע החלפה זו נגלה:

באמצעות מאפיין הלוגריתם של המנה וכוח, יש לנו:

שים לב שהפונקציה שנמצאה לעיל היא מסוג ax + b, שהיא פונקציה affine. אז הגרף שלך יהיה קו ישר.

כמו כן, השיפוע a שווה ליומן₁₀ 5, שהוא מספר חיובי, ולכן הגרף יגדל. בדרך זו נוכל לבטל את האפשרויות b, c ו- e.

נשארנו עם אפשרויות a ו- d, אולם כאשר x = 0 יש לנו gof = - log₁₀ 2 שהוא ערך שלילי כפי שהוא מיוצג בגרף א.

חלופה א)

4) יוניקמפ - 2014

הגרף שלהלן מציג את עקומת הפוטנציאל הביוטית q (t) עבור אוכלוסיית מיקרואורגניזמים, לאורך זמן t.

מכיוון ש- a ו- b הם קבועים אמיתיים, הפונקציה שיכולה לייצג פוטנציאל זה היא

א) q (t) = ב- + b
ב) q (t) = ab^t
ג) q (t) = ב² + bt
ד) q (t) = יומן + _ב t

ראה תשובה

מהגרף המוצג נוכל לזהות שכאשר t = 0, הפונקציה שווה ל- 1000. יתר על כן, ניתן גם לבחון כי הפונקציה אינה זיקה, מכיוון שהגרף אינו קו ישר.

אם הפונקציה הייתה מסוג q (t) = at²+ bt, כאשר t = 0, התוצאה תהיה שווה לאפס ולא 1000. אז גם זו לא פונקציה ריבועית.

כיצד להיכנס_ב0 אינו מוגדר, יכול להיות שלא תהיה לו הפונקציה q (t) = a + log_בt.

לפיכך, האפשרות היחידה תהיה הפונקציה q (t) = ab^t. בהתחשב ב- t = 0, הפונקציה תהיה q (t) = a, כיוון ש- a הוא ערך קבוע, זה מספיק שהוא שווה ל- 1000 כדי שהפונקציה תתאים לגרף הנתון.

חלופה ב) q (t) = ab^t

5) האויב (PPL) - 2015

ארגון העובדים של החברה מציע כי קומת השכר בכיתה תעמוד על 1,800.00 דולר R, ומציעה עלייה קבועה באחוזים לכל שנה המוקדשת לעבודה. הביטוי המתאים להצעת / ים השכר, כפונקציה של משך השירות (t), בשנים, הוא s (t) = 1800. (1,03)^t .

על פי הצעת האיגוד, שכרו של בעל מקצוע מחברה זו עם שירות של שנתיים יהיה,

א) 7 416.00
ב) 3,819.24
ג) 3,709.62
ד) 3,708.00
ה) 1,909.62.

ראה תשובה

הביטוי לחישוב השכר כפונקציה של הזמן שהציע האיגוד תואם פונקציה אקספוננציאלית.

כדי למצוא את שכר השכר במצב המצוין, בואו נחשב את הערך של s, כאשר t = 2, כמפורט להלן:

s (2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

חלופה ה) 1 909.62

קרא גם:

• פונקציה מעריכית
• לוֹגָרִיתְם
• לוגריתם - תרגילים
• מאפייני לוגריתם
• פוטנציאל
• תרגילי עוצמה
• פונקציה
• פונקציה לינארית
• תרגילי פונקציה קשורים
• פונקציה ריבועית
• פונקציה ריבועית - תרגילים
• נוסחאות מתמטיקה