מרחק בין שתי נקודות

המרחק בין שתי נקודות הוא המדד של קטע הקו שמצטרף אליהם.

אנו יכולים לחשב מדד זה באמצעות גיאומטריה אנליטית.

מרחק בין שתי נקודות על המטוס

במישור נקודה נקבעת לחלוטין בידיעה של זוג מסודר (x, y) הקשור אליו.

כדי לדעת את המרחק בין שתי נקודות, בתחילה נציג אותן במישור הקרטזיאני, ואז נחשב מרחק זה.

דוגמאות:

1) מה המרחק בין נקודה A (1.1) לנקודה B (3.1)?

d (A, B) = 3 - 1 = 2

2) מה המרחק בין נקודה A (4.1) לנקודה B (1,3)?

שימו לב שהמרחק בין נקודה A לנקודה B שווה להיפוטנוזה של המשולש הימני עם הרגליים 2 ו -3.

אז נשתמש ב- משפט פיתגורס לחישוב המרחק בין הנקודות הנתונות.

[טְפִיחָה)]² = 3² + 2² = √13

נוסחת מרחק בין שתי נקודות במישור

כדי למצוא את נוסחת המרחק נוכל להכליל את החישוב שנעשה בדוגמה 2.

לכל שתי נקודות, כגון A (x₁כן₁) ו- B (x₂y₂), יש לנו:

למידע נוסף, קרא גם:

• גיאומטריה מישורית
• תוכנית קרטזית
• יָשָׁר

מרחק בין שתי נקודות במרחב

אנו משתמשים במערכת קואורדינטות תלת מימדית כדי לייצג נקודות במרחב.

נקודה נקבעת במלואה במרחב כאשר יש משולש מסודר (x, y, z) המשויך אליה.

כדי למצוא את המרחק בין שתי נקודות במרחב, בתחילה נוכל לייצג אותן במערכת הקואורדינטות ומשם לבצע את החישובים.

דוגמא:

מה המרחק בין נקודה A (3,1.0) לנקודה B (1,2.0)?

בדוגמה זו אנו רואים שנקודה A ו- B שייכות למישור ה- xy.

המרחק יינתן על ידי:

[טְפִיחָה)]² = 1² + 2² = √5

נוסחת המרחק בין שתי נקודות בחלל

למידע נוסף, קרא גם:

• גיאומטריה מרחבית
• משוואת קו
• נוסחאות מתמטיקה

תרגילים נפתרו

1) נקודה A שייכת לציר הבסיס (ציר x) והיא שווה מרחק מנקודות B (3.2) ו- C (-3.4). מהם הקואורדינטות של נקודה A?

ראה תשובה

כנקודה A שייכת לציר אבסיסה, אז הקואורדינטה שלה היא (a, 0). אז עלינו למצוא את הערך של a.

(0 - 3)² + (עד - 2)² = (0 + 3)² + (עד -4)²
9 + ל² - 4a +4 = 9 + a² - 8 + 16
רביעי = 12
a = 3
(3.0) הם הקואורדינטות של נקודה A.

2) המרחק מנקודה A (3, a) לנקודה B (0.2) שווה ל- 3. חשב את ערך הסמיכה a.

ראה תשובה

3² = (0 - 3)² + (2 - א)²
9 = 9 + 4 - 4a + a²
ה² - 4 +4 = 0
a = 2

3) ENEM - 2013

בשנים האחרונות הטלוויזיה עברה מהפכה של ממש, מבחינת איכות התמונה, הסאונד והאינטראקטיביות עם הצופה. שינוי זה נובע מהמרת האות האנלוגי לאות הדיגיטלי. עם זאת, בערים רבות עדיין אין את הטכנולוגיה החדשה הזו. שואפת להביא את היתרונות הללו לשלוש ערים, תחנת טלוויזיה מתכוונת לבנות מגדל שידור חדש, השולח אות לאנטנות A, B ו- C, שכבר קיימות בערים אלה. מיקומי האנטנות מיוצגים במישור הקרטזיאני:

המגדל חייב להיות ממוקם במקום שווה מרחק משלוש האנטנות. המקום המתאים לבניית מגדל זה תואם את נקודת התיאום

א) (65; 35)
ב) (53; 30)
ג) (45; 35)
ד) (50; 20)
ה) (50; 30)

ראה תשובה

חלופה נכונה ה: (50; 30)

ראה גם: מרחק בין שתי תרגילי נקודות

4) ENEM - 2011

שכונה של עיר תוכננה באזור מישורי, עם רחובות מקבילים ומאונכים, התוחמים בלוקים באותו גודל. במישור הקואורדינטות הקרטזיאני הבא שכונה זו ממוקמת ברבע השני, והמרחקים ב
צירים ניתנים בקילומטרים.

הקו הישר של משוואה y = x + 4 מייצג את תכנון מסלול קו הרכבת התחתית התת קרקעי שיחצה את השכונה ואזורי העיר האחרים.
בנקודה P = (-5.5), ממוקם בית חולים ציבורי. הקהילה ביקשה מוועדת התכנון לתכנן תחנת רכבת תחתית כך שמרחקה לבית החולים, נמדד בקו ישר, לא יעלה על 5 ק"מ.
בתגובה לבקשת הקהילה, הוועדה טענה נכונה כי הדבר יסופק אוטומטית, מכיוון שכבר נקבעה בניית תחנה בנקודה.

א) (-5.0)
ב) (-3.1)
ג) (-2.1)
ד) (0.4)
ה) (2.6)

ראה תשובה

חלופה נכונה ב: (-3.1).

ראה גם: תרגילים בנושא גיאומטריה אנליטית