ה פּרוֹפּוֹרצִיָה מורכב מהשוויון בין שניים או יותר סיבות, שהם החלוקה בין המספרים בהם עלינו לציית לסדר בו הם ממוקמים. לדוגמא, ברצף פיבונאצ'י, ה- סיבה בין כל מונח לקודמו תמיד יהיה פרופורציונלי, כלומר שווה. חקר הפרופורציות חשוב מאוד מכיוון שבטבע ובחיי היומיום שלנו מושג זה מופיע לעיתים קרובות.
קרא גם: כלל שלוש: כיצד לחשב?
יחס ופרופורציה
כדי להבין טוב יותר את הגדרת הפרופורציות, ראשית יש לדעת מהי סיבה. סיבה אחת היא לא יותר מאשר המנה בין המספרים המעורבים בפעולה, ראה:
הגדרת סיבה
תן ל- a ו- b להיות שני מספרים, כאשר b ≠ 0, היחס שלו ניתן על ידי חֲלוּקָה בין שניהם:
דוגמא
קבע את היחס בין 2 ל -3; 7 ו -9; 4 ו -18. לשם כך עלינו לכתוב את שברים (חלוקות) בין המספרים המדוברים בסדר שהם הוצבו.
כאשר אנו משווים שני יחסים, אנו קובעים יחס.
הגדרת פרופורציה
תנו למספרים a, b, c ו- d, עם b ≠ 0 ו- d ≠ 0, היחס ביניהם, באותו סדר, יוצר פרופורציה, כלומר:
אם השוויון נכון, כלומר אם a · d = b · c, אז המספרים a, b, c ו- d הם פרופורציונליים.
דוגמא
בדוק אם המספרים שלהלן הם פרופורציונליים או לא.
א) 2, 4, 8 ו -16
כדי שהמספרים הללו יהיו פרופורציונליים, היחסים ביניהם חייבים להיות שווים, בואו נבדוק.
שימו לב, לאחר הרכבת היחס, אנו מפשטים את השברים ומקבלים שניים מהם, כך שהמספרים הם פרופורציונליים. דרך נוספת לבדוק אם הם פרופורציונליים היא לבצע את כֶּפֶל לַחֲצוֹת, תראה:
לאחר הכפלת צולבים, אם השוויון נכון, המספרים הם פרופורציונליים. אתה יכול לבחור איזו שיטה לדעתך היא הטובה ביותר לאימות, בדוגמה למטה נשתמש רק בכפל צולב, ראה:
ב) 3, 5, 2, 3
קבענו את היחסים ואז הכפלנו.
ראה את השוויון הזה לא נכון, ולכן המספרים אינם פרופורציונליים.
קרא גם: פשט שבר: מה זה ואיך לעשות את זה?
הפרש בין יחס לפרופורציה
בידיעת הגדרות היחס והפרופורציה, כעת נוכל להבין את ההבדל ביניהן. הסיבה היא החלוקה בין שני מספרים ידועים, והפרופורציה היא השוויון בין אותם מספרים.
נכסי פרופורציה
לפרופורציה יש מאפיינים שיכולים להקל על פיתרון של כמה בעיות, אולם לשתי הראשונות מגיע תשומת לב מיוחדת. ראה, למטה, מה הם.
נכס 1 שקול את הפרופורציה:
אז השוויון הבא נכון:
נכס 2 - מוכר גם בשם תכונה בסיסית של פרופורציות.
בכל המאפיינים הבאים, שקול את ההגדרה של יחס גובה-רוחב.
נכס 3 - היחס בין a ל- c שווה ליחס בין a + c ו- b + d.
נכס 4 - בהתחשב בהגדרת הפרופורציה, אזי השוויון הבא הוא נכון.
תרגילים נפתרו
שאלה 1 - (יוניקמפ - SP) היחס בין גילו של פדרו לזה של אביו שווה לשתי תשיעיות. אם סכום שני הגילאים שווה 55 שנה, לפדרו יש:
א) 12 שנים
ב) בן 13
ג) 10 שנים
ד) 15 שנים
פִּתָרוֹן
חלופה ג.
מכיוון שאיננו מכירים את הגילאים של פיטר ואביו, בואו נקרא להם x ו- y, בהתאמה.
x → גילו של פיטר
y → גיל האב
היחס בין גיל פדרו לאביו שווה לשתיים תשיעיות, ראו שיש לנו שוויון בין הסיבות, לכן, פרופורציה.
על פי ההצהרה, יש לנו שסכום הגילאים הוא 55, אז:
x + y = 55
כעת, באמצעות מאפיין 4 מהפרופורציה, יש לנו:
שאלה 2 - ידוע שהמספרים 20, 25, x ו- 2.5 הם פרופורציונליים בסדר זה. קבע את ערך ה- x על סמך מידע זה.
פִּתָרוֹן
מכיוון שהמספרים פרופורציונליים בסדר מסוים, אז יש לנו את הפרופורציה הבאה (לאחר הרכבה, אנו משתמשים במאפיין 2):
