מספרים משולשים. הכרת המספרים המשולשים

דמיינו לעצמכם משחק עם גולות כדי ליצור משולשים. ראשית, אתה יכול לחשוב שכדור הוא כמו משולש קטן:

•

לאחר מכן מניחים מתחתיהם שתי גולות ויוצרים את שלושת הקודקודים של a משולש:

•
• •

אם תניח עוד שלושה כדורים מתחת לאלה, זה יצור משולש נוסף:

•
• •
• • •

בכל שלב של הוספת כדורים ביחס לכמות שהונחו קודם לכן, תמיד תהיה היווצרות משולשים. ראה את המשולש שנוצר על ידי הוספת ארבעה כדורים נוספים:

•
• •
• • •
• • • •

המספר הכולל של הכדורים בכל שלב מאפיין מחלקה של מספרים הנקראת מספרים משולשים. המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס גילה נוסחה לציון הכמות הכוללת בכל משולש, היכן ס₁מתאים למשולש הראשון, ס₂, למשולש השני וכן הלאה. הסכומים שתיאר גאוס התחילו עם א ו, בכל שלב נוסף מספר התואם ליחידה אחת מעל המספר האחרון שנוסף:

ס₁ = 1
​ס₂= 1 + 2 = 3
ס₃ = 1 + 2 + 3 = 6
ס₄= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
ס₅ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

התוצאות של סכומים אלו היו המספרים המשולשים: 1, 3, 6, 10, 15... שימו לב שיש תבנית שנקבעה בכל אחד מהסכומים הללו. במבט טוב נוכל לראות שכל אחד מהם הוא א התקדמות אריתמטית מהסיבה 1. אז הנה ה סכום גאוס, הקובע כי בסכום יחס קבוע, אם נוסיף את היסוד הראשון לאחרון, נקבל את אותה תוצאה כמו הוספת היסוד השני ללפני אחרון. בואו נראה כיצד מתרחש תהליך סכום גאוס עבור סכומים.

ס₆ ו ס₇:

תהליך סכום גאוס מוחל על סכום המספרים המשולשים

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום ;)

אם להפסיק ס₆ ו ס₇ יש לנו את הסכומים מהתמונה למעלה, בואו נשחזר את הסכום הזה עבור ס₈, ש₉, ש₁₀ ו ס₁₁:

ס₈ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
ס₉= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
ס₁₀= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
ס₁₁= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66

אנחנו יכולים להכליל כדי לקבל סכום עבור ס_לא:

ס_לא = נ. (n+1), אם n זוגי
2

ס_לא = (n - 1).(n+1) + (n - 1) + 1, אם n הוא אי זוגי
​2 2

בדיוק כמו ב קסם מספר, נוכל להראות עובדה מעניינת נוספת על מספרים משולשים: סכום המספרים המשולשים הבאים תמיד מביאים למספרים שניתן לסווג כריבועים מושלמים, כלומר, מספרים שיש להם שורש כיכר. בוא נראה:

ס₁ + S₂ = 1 + 3 = 4
​ס₂ + S₃ = 3 + 6 = 9
ס₃ + S₄ = 6 + 10 = 16
ס₄ + S₅ = 10 + 15 = 25
ס₅ + S₆ = 15 + 21 = 36
ס₆ + S₇ = 21 + 28 = 49
ס₇ + S₈ = 28 + 36 = 64
​ס₈ + S₉ = 36 + 45 = 81
ס₉ + S₁₀ = 45 + 55 = 100
ס₁₀ + S₁₁ = 55 + 66 = 121

התוצאות שהתקבלו, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ו-121, הן כולן ריבועים מושלמים.

מאת אמנדה גונסאלבס
בוגר במתמטיקה

האם תרצה להתייחס לטקסט זה בעבודה בית ספרית או אקדמית? תראה:

ריביירו, אמנדה גונסאלבס. "מספרים משולשים"; בית ספר ברזיל. זמין ב: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. נגיש ב-27 ביולי 2021.