ה פירוק גורם מרכזי הוא כלי חשוב מאוד בפיתוח מתמטי, מכיוון שניתן לפשט ביטויים מספריים או אַלגֶבּרִי ולחשב MDC או MMC של מספרים שלמים.
הפירוק לגורמים ראשוניים הוא אחת התוצאות החשובות ביותר בתחום האלגברה והיא ידועה רשמית כמשפט היסוד של חשבון, הקובע כי כל מספר שלם חיובי גדול מ -1 ניתן לכתוב (או להתפרק) בצורה של כֶּפֶל של מספרים ראשוניים.
קרא גם: מאפייני כפל לחישוב נפש
איך להתפרק לגורמים ראשוניים?
חיוני להבין את המושג מספרים ראשוניים, מכיוון שנשתמש בהם לפירוק מספרים שלמים. כאן נחזור בקצרה להגדרת מספרים ראשוניים.
|
מספרים ראשוניים הם אלה המופיעים ברשימת שלך מְחוּגָה רק ה מספר 1 ואת עצמם. כדי לבדוק אם המספרים 11 ו- 21 הם ראשוניים או לא, למשל, עלינו לרשום את המחלקים של שני המספרים: D (11) = {1, 11} D (21) = {1, 3, 7, 21} שים לב שכאשר מפרטים את המחלקים של 11 מופיעים רק המספר 1 ושלעצמו, כך מספר 11 הוא ראשוני, שאינו חל על מספר 21, שמספרו גדול מ -1 ו -21, כך המספר 21 אינו ראשוני. הראשי מספרים ראשוניים המשמשים אותנו לביצוע הפירוק הם הראשונים, ולכן חשוב מאוד שנדע לפחות את הראשונים הבאים: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...} |
פירוק הגורמים הראשוניים הוא כלי חזק מאוד במתמטיקה, מכיוון שהוא מאפשר פשט ביטויים אלגבריים ומספריים. באופן רשמי, הפירוק לגורמים ראשוניים מכונה משפט היסוד של חשבון, הקובע:
"כל מספר שלם הגדול מ -1 יכול להיכתב ככפל של מספרים ראשוניים."
יתר על כן, פירוק זה הוא ייחודי לכל מספר, כלומר כאשר מפרקים את המספר 12, למשל, הוא יהיה היחיד עם גורם כזה. המספר שמודה בפירוק נקרא מתחם.
כיצד לפרק מספר מורכב?
כדי לפרק מספר מורכב, עלינו לבצע חטיבות מספרים ראשוניים עוקבים - אם חלוקה אפשרית - עד שהמנה שווה ל -1. בסופו של דבר, עלינו לכתוב את המספרים הראשוניים המשמשים בצורת כפל (צורה פקטורית). ראה את הדוגמאות להלן:
דוגמה 1
כתוב את המספר 24 בצורה מעובדת.
כדי לכתוב את המספר 24 בצורה מעובדת, עלינו לחלק אותו ל- המספר הראשוני הראשון האפשריכלומר, חלק את המספר 24 במספר ראשוני בו החלוקה מדויקת.
משתמש ב אלגוריתם חלוקהבואו נחלק את 24 ב2.
המרכיב שנמצא עכשיו היה המספר 12, ולכן עלינו לחלק אותו שוב למספר הראשוני הראשון שהחלוקה שלו מדויקת, כלומר לפי2.
אנחנו חייבים המשך בתהליך זה עד למרווח השווה ל -1. שימו לב שעכשיו המנה שווה ל -6, כך שנוכל לחלק אותה ל -2, מכיוון שהמספר 2 הוא המספר הראשוני הראשון שעדיין חלוקה אפשרית עבורו.
שימו לב שכעת המנה שווה ל -3, כך שלא ניתן לחלק אותה ל -2. במקרים אלה, נחלק אותו למספר הראשוני הבא שהחלוקה שלו מדויקת, כלומר לפי3.
מכיוון שהמנה היא שווה ל -1, הפירוק הסתיים, עכשיו מספיק לכתוב את המספרים הראשוניים (שנמצאים בתוך המפתח) כמוצר. תראה:
24 = 2 · 2 ·2 · 3
24 = 23· 3
ראו שכתבנו את המספר 24 בצורה של מוצר. זה אומר שחשבנו את המספר 24 באמצעות מספרים ראשוניים.
דוגמה 2
כתוב את המספר 25 בצורתו המצורפת.
בדוגמה זו נשתמש שוב באלגוריתם החלוקה, אך נכתוב זאת אחרת, ראה:
25 = 5 · 5 + 0
5 = 5 · 1 + 0
המספר 25, בצורה מעובדת, הוא:
25 = 5 ·5
25 = 52
קרא גם: קריטריונים לחלוקה - תהליכים המקלים על פעולת החלוקה
שיטה מעשית לביצוע פירוק גורמים ראשוניים
אם מסתכלים על השיטה הקודמת, אם המספר שיש לקחת בחשבון גדול מאוד, כמו המספר 1024, יש לנו משהו די מאומץ, מכיוון שחלוקה עוקבת לפי מספרים ראשוניים תהיה הכרחית עד שווה המידה עד 1.
השיטה שנראה בהמשך היא לא יותר מפשט החלוקה. במקום לכתוב את כל מרכיבי החלוקה (מחלק, דיבידנד, מנה ושאר), בואו נניח רק את המספר הראשוני שלפיו אנו הולכים לחלק את המספר שיש לחשב ואת מנת החלוקה. ראה את הדוגמאות:
פקטורינג המספר 60
כדי לפקוד את המספר 60, בואו נלך באותה שלב אחר שלב, אבל בואו רק נכתוב את המרכיב של החלוקה (כלומר התוצאה) ואת המספר הראשוני שלפיו אנו הולכים לחלק את המספר 60.
ראו שכשמחלקים את ה 60 על ידי2,התוצאה היא 30 ועל ידי חלוקת המספר 30 ב- 2, התוצאה היא 15, וכך הלאה עד שתוצאת החלוקה שווה ל -1. התהליך נשאר זהה, ההבדל היחיד הוא בפשט המידע.
המספר 60, בצורתו המחושבת, הוא:
60 = 2 · 2 · 3 ·5
60 = 22 · 3 · 5
תרגילים נפתרו
שאלה 1 - פירקו את המספר 192 לגורמים ראשוניים.
פתרון הבעיה
המספר 192, בצורתו המפורקת, הוא:
192 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3
192 = 26 · 3
שאלה 2 - שקול את המספרים p ו- q כך ש- p = 25 · 5 ו- q = 32. קבע את היחס בין q ל- p.
פתרון הבעיה
היחס בין שני מספרים הוא החלוקה ביניהם. עלינו תמיד לציית לסדר שבו הם קיבלו לחלק את q ב- p. לפני שנבצע את החלוקה בפועל, בואו נניח את המספר q ונחפש דרך לפשט את החישוב.
יש לנו q = 32, כך שנוכל לכתוב את זה כך:
q = 2 · 2 · 2 · 2 · 2
q = 25
כעת מכיוון שחשבנו את המספר q, נוכל להרכיב את היחס בין q ל- p ולהחליף את הערכים.
