פקטורינג הוא תהליך המשמש במתמטיקה המורכב מייצוג מספר או ביטוי כתוצר של גורמים.
על ידי כתיבת פולינום כמו הכפלת פולינומים אחרים, לעתים קרובות אנו יכולים לפשט את הביטוי.
בדוק את סוגי הפקטוריזציה הפולינומית להלן:
גורם נפוץ בראיות
אנו משתמשים בסוג זה של פקטוריזציה כאשר יש גורם החוזר על עצמו בכל מונחי הפולינום.
גורם זה, שיכול להכיל מספרים ואותיות, יוצב מול הסוגריים.
בתוך הסוגריים תהיה התוצאה של חלוקת כל מונח של הפולינום על ידי הגורם המשותף.
בפועל, בואו נעשה את השלבים הבאים:
1º) זהה אם יש מספר שמחלק את כל מקדמי הפולינום והאותיות שחוזרים על עצמם בכל המונחים.
2º) שים את הגורמים הנפוצים (מספר ואותיות) לפני הסוגריים (לראיה).
שלישית) הכניסו לסוגריים את התוצאה של חלוקת כל גורם בפולינום בגורם הראייתי. במקרה של אותיות, אנו משתמשים בכלל חלוקת הכוחות של אותו בסיס.
דוגמאות
א) מהי הצורה המצורפת של הפולינום 12x + 6y - 9z?
ראשית, אנו מזהים את המספר 3 מחלק את כל המקדמים ושאין אות שחוזרת על עצמה.
שמנו את המספר 3 לפני הסוגריים, אנו מחלקים את כל המונחים בשלושה ואת התוצאה נכניס לסוגריים:
12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)
ב) גורם 2 א2b + 3a3ג - א4.
מכיוון שאין מספר שמחלק את 2, 3 ו- 1 בו זמנית, לא נשים שום מספר לפני הסוגריים.
האות ה חוזר על עצמו בכל המונחים. הגורם המשותף יהיה ה2, שהוא המעריך הקטן ביותר של ה בביטוי.
אנו מחלקים כל מונח של הפולינום על ידי ה2:
22 ב: ה2 = 22 - 2 b = 2b
33ג: ה2 = 33 - 2 c = 3ac
ה4: א2 = ה2
שמנו את ה2 מול סוגריים ותוצאות החלוקה בסוגריים:
22b + 3a3ג - א4 = ה2 (2b + 3ac - א2)
הַקבָּצָה
בפולינום שאינו קיים גורם החוזר על עצמו בכל המונחים, אנו יכולים להשתמש בגורם על ידי קיבוץ.
לשם כך עלינו לזהות מונחים שניתן לקבץ לפי גורמים משותפים.
בסוג זה של פקטוריזציה, אנו מעידים על הגורמים המשותפים של הקבוצות.
דוגמא
פקטור ה- polynomial mx + 3nx + my + 3ny
התנאים מקס ו 3nx יש כגורם משותף איקס. כבר התנאים שֶׁלִי ו 3ny יש כגורם משותף y.
העמדת גורמים אלה לראיה:
x (m + 3n) + y (m + 3n)
שים לב ש (m + 3n) חוזר כעת גם בשני המונחים.
אם אנו מכניסים זאת שוב לראיה, אנו מוצאים את הצורה הממוקמת של הפולינום:
mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)
טרינומיאל מרובע מושלם
טרינומים הם פולינומים עם 3 מונחים.
הטרינומיאלים המרובעים המושלמים א2 + 2ab + b2 וה2 - 2ab + b2 תוצאה מהמוצר המדהים מהסוג (a + b)2 ו- (א - ב)2.
לפיכך, הפקטוריזציה של הטרינומיאל המרובע המושלם תהיה:
ה2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (ריבוע מסכום שני המונחים)
ה2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (ריבוע של ההפרש של שני מונחים)
כדי לברר אם טרינום הוא באמת ריבוע מושלם, אנו עושים את הפעולות הבאות:
1º) חשב את השורש הריבועי של המונחים שנראים בריבוע.
2) הכפל את הערכים שנמצאו ב -2.
3) השווה את הערך שנמצא עם המונח שאין בו ריבועים. אם הם שווים, זה ריבוע מושלם.
דוגמאות
א) גורם לפולינום x2 + 6x + 9
ראשית, עלינו לבדוק האם הפולינום הוא ריבוע מושלם.
√x2 = x ו- √9 = 3
מכפילים ב -2, אנו מוצאים: 2. 3. x = 6x
מכיוון שהערך שנמצא שווה למונח שאינו בריבוע, הפולינום הוא בריבוע מושלם.
לפיכך, הפקטוריזציה תהיה:
איקס2 + 6x + 9 = (x + 3)2
ב) גורם לפולינום x2 - 8xy + 9y2
בודקים אם זה טרינום מרובע מושלם:
√x2 = x ו- √9y2 = 3y
ביצוע הכפל: 2. איקס. 3y = 6xy
הערך שנמצא אינו תואם למונח הפולינום (8xy ≠ 6xy).
מכיוון שזה אינו טרינום מרובע מושלם, איננו יכולים להשתמש בסוג זה של פקטוריזציה.
הבדל של שני ריבועים
לפקטור פולינומים מסוג א2 ב2 אנו משתמשים בתוצר המדהים של סכום והבדל.
לפיכך, הפקטוריזציה של פולינומים מסוג זה תהיה:
ה2 ב2 = (a + b). (א - ב)
לפקטור, עלינו לחשב את השורש הריבועי של שני המונחים.
לאחר מכן כתוב את תוצר סכום הערכים שנמצאו וההבדל בין ערכים אלה.
דוגמא
פקטור הדף הבינומי 9x2 - 25.
ראשית, מצא את השורש הריבועי של המונחים:
√9x2 = 3x ו- √25 = 5
כתוב ערכים אלה כתוצר של הסכום וההפרש:
9x2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)
קוביה מושלמת
הפולינומים א3 + 32b + 3ab2 + ב3 וה3 - 32b + 3ab2 ב3 תוצאה מהמוצר המדהים מהסוג (a + b)3 או (א - ב)3.
לפיכך, הצורה המעובדת של הקוביה המושלמת היא:
ה3 + 32b + 3ab2 + ב3 = (a + b)3
ה3 - 32b + 3ab2 ב3 = (a - b)3
כדי לחשב פולינומים מסוג זה, עלינו לחשב את השורש הקובי של המונחים לקוביה.
לאחר מכן, יש צורך לאשר כי הפולינום הוא קוביה מושלמת.
אם כן, אנו קוביים את סכום או חיסור הערכים של השורשים הקוביים שנמצאו.
דוגמאות
א) גורם לפולינום x3 + 6x2 + 12x + 8
ראשית, בואו נחשב את השורש המעוקב של המונחים בקוביות:
3√ x3 = x ו- 3√ 8 = 2
ואז אשר אם מדובר בקוביה מושלמת:
3. איקס2. 2 = 6x2
3. איקס. 22 = פי 12
מכיוון שהמונחים שנמצאו זהים למונחים בפולינום, הרי שמדובר בקוביה מושלמת.
לפיכך, הפקטוריזציה תהיה:
איקס3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
ב) גורם לפולינום א3 - 92 27 - 27
ראשית בואו נחשב את השורש הקובי של המונחים בקוביות:
3ל3 = a ו- 3√ - 27 = - 3
ואז אשר אם מדובר בקוביה מושלמת:
3. ה2. (-3) = - 92
3. ה. (- 3)2 = 27
מכיוון שהמונחים שנמצאו זהים למונחים בפולינום, הרי שמדובר בקוביה מושלמת.
לפיכך, הפקטוריזציה תהיה:
ה3 - 92 + 27a - 27 = (a - 3)3
קרא גם:
- פוטנציאל
- פולינומים
- פונקציה פולינומית
- מספרים ראשוניים
תרגילים נפתרו
גורמים לפולינומים הבאים:
א) 33x + 22y - 55z
ב) 6nx - 6ny
ג) 4x - 8c + mx - 2mc
ד) 49 - ה2
ה) ט '2 + 12 + 4
א) 11. (3x + 2y - 5z)
ב) 6 ן. (x - y)
ג) (x - 2 ג). (4 + מ ')
ד) (7 + א). (7 - א)
ה) (3 + 2)2
ראה גם:
- ביטויים אלגבריים
- תרגילים על ביטויים אלגבריים
- מוצרים בולטים
- מוצרים בולטים - תרגילים
