תמורה עם אלמנטים חוזרים ונשנים

תמורה של אלמנטים חוזרים חייבת להתאים לצורה שונה מהתמורה, שכן אלמנטים חוזרים ומתחלפים זה עם זה. כדי להבין כיצד זה קורה, עיין בדוגמה הבאה:
התמורה של המילה מתמטיקה תיראה כך:
מבלי לקחת בחשבון את האותיות (האלמנטים) החוזרות ונשנות, התמורה תיראה כך:
פ₁₀ = 10! = 3.628.800
כעת, כאשר למילה מתמטיקה יש אלמנטים החוזרים על עצמם, כמו האות A החוזרת 3 פעמים, על אות T חוזרת פעמיים ואות M חוזרת על עצמה פעמיים, כך שהמחלוף זה לזה של החזרות הללו יהיה 3!. 2!. 2!. לכן, התמורה של המילה מתמטיקה תהיה:

לכן, בעזרת המילה מתמטיקה אנו יכולים להרכיב 151200 אנגרמות.
בעקבות נימוק זה, אנו יכולים להסיק כי באופן כללי, התמורה עם אלמנטים חוזרים מחושבת על פי הנוסחה הבאה:
בהתחשב בתמורה של קבוצה עם n אלמנטים, כמה אלמנטים חוזרים על n₁ לפעמים לא₂ פעמים ולא_לא פִּי. ואז מחשבים את התמורה:

דוגמה 1:
כמה אנגרמות ניתן ליצור עם המילה MARAJOARA, תוך שימוש בתמורה שתהיה לנו:

לכן, בעזרת המילה MARAJOARA אנו יכולים ליצור 7560 אנגרמות.
דוגמה 2:
כמה אנגרמות ניתן ליצור עם המילה איטלקית, תוך שימוש בתמורה שתהיה לנו:

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)

אז עם המילה איטלקית אנו יכולים ליצור 3360 אנגרמות.

דוגמה 3:
כמה אנגרמות עם המילה BARRIER יכולות להיווצר, שחייבות להתחיל באות B?
ב ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
↓ ↓
1P^2,3₇
1. פ^2,3₇ = 7! = 420
2!. 3!
לכן, עם המילה BARRIER אנו יכולים ליצור 420 אנגרמות.

מאת דניאל ממירנדה
בוגר מתמטיקה

האם תרצה להתייחס לטקסט זה בבית ספר או בעבודה אקדמית? תראה:

RAMOS, דניאל דה מירנדה. "תמורה עם אלמנטים חוזרים ונשנים"; בית ספר ברזיל. אפשר להשיג ב: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/permutacao-com-elementos-repetidos.htm. גישה אליו ב -28 ביוני 2021.