פולינומים: הגדרה, פעולות ופקטוריזציה

פולינומים הם ביטויים אלגבריים הנוצרים על ידי מספרים (מקדמים) ואותיות (חלקים מילוליים). האותיות של פולינום מייצגות את הערכים הלא ידועים של הביטוי.

דוגמאות

א) 3ab + 5
ב) x³ + 4xy - 2x²y³
ג) 25x² - 9 שנים²

מונומיום, בינומיאל וטרינום

פולינומים מורכבים מתנאים. הפעולה היחידה בין יסודות המונח היא הכפל.

כאשר לפולינום יש מונח אחד בלבד, זה נקרא a מונומיאלי.

דוגמאות

א) 3x
ב) 5bc
ג) x²y³z⁴

את השיחות בינומים הם פולינומים שיש להם רק שני מונומיות (שני מונחים), המופרדים על ידי פעולת חיבור או חיסור.

דוגמאות

א) ל² ב²
ב) 3x + y
ג) 5ab + 3cd²

כבר את טרינום הם פולינומים בעלי שלושה מונומיות (שלוש מונחים), המופרדים על ידי פעולות חיבור או חיסור.

דוגמאס

א) x² + 3x + 7
ב) 3ab - 4xy - 10y
ס"מ³n + m² + n⁴

דרגת פולינומים

מידת הפולינום ניתנת על ידי מעריצי החלק המילולי.

כדי למצוא את מידת הפולינום עלינו להוסיף את המארגנים של האותיות המרכיבות כל מונח. הסכום הגדול ביותר יהיה מידת הפולינום.

דוגמאות

א) 2x³ + y

המעריך של הקדנציה הראשונה הוא 3 והמונח השני הוא 1. מכיוון שהגדול ביותר הוא 3, מידת הפולינום היא 3.

ב) פי 4²y + 8x³y³ - xy⁴

בואו נוסיף את המעריכים של כל מונח:

4x²y => 2 + 1 = 3
8x³y³ => 3 + 3 = 6
xy⁴ => 1 + 4 = 5

מכיוון שהסכום הגדול ביותר הוא 6, מידת הפולינום היא 6

הערה: הפולינום האפס הוא אחד שיש לו את כל המקדמים השווים לאפס. כאשר זה קורה, מידת הפולינום אינה מוגדרת.

פעולות עם פולינומים

ראה להלן דוגמאות לפעולות בין פולינומים:

הוספת פולינומים

אנו מבצעים פעולה זו על ידי הוספת מקדמים של מונחים דומים (אותו חלק מילולי).

(-7x³ + פי 5²y - xy + 4y) + (-2x²y + 8xy - 7y)
- פי 7³ + פי 5²y - 2x²y - xy + 8xy + 4y - 7y
- פי 7³ + פי 3²y + 7xy - 3y

חיסור פולינומי

סימן המינוס מול הסוגריים הופך את הסימנים שבתוך הסוגריים. לאחר הסרת הסוגריים עלינו להוסיף מונחים דומים.

(פי 4² - 5xk + 6k) - (3x - 8k)
4x² - 5xk + 6k - 3xk + 8k
4x² - 8xk + 14k

ריבוי פולינומים

בכפל עלינו להכפיל מונח אחר מונח. בכפל האותיות השוות חוזרים ומוסיפים את המעריכים.

(פי 3² - 5x + 8). (-2x + 1)
-6x³ + פי 3² + פי 10² - 5x - 16x + 8
-6x³ + 13x² - 21x +8

חטיבת הפולינומים

הערה: בחלוקה הפולינומית אנו משתמשים בשיטת המפתח. ראשית אנו מבצעים את החלוקה בין המקדמים המספריים ואז את חלוקת הכוחות של אותו בסיס. לשם כך יש לשמור על הבסיס ולהחסיר את המעריכים.

פקטורינג פולינומי

לבצע את פרוק לגורמים בפולינומים יש לנו את המקרים הבאים:

גורם נפוץ בראיות

ax + bx = x (a + b)

דוגמא

4x + 20 = 4 (x + 5)

הַקבָּצָה

ax + bx + ay + by = x. (a + b) + y. (a + b) = (x + y). (a + b)

דוגמא

8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b). (x + y)

טרינומיאל מרובע מושלם (תוספת)

ה² + 2ab + b² = (a + b)²

דוגמא

איקס² + 6x + 9 = (x + 3)²

טרינומיאל מרובע מושלם (הבדל)

ה² - 2ab + b² = (a - b)²

דוגמא

איקס² - 2x + 1 = (x - 1)²

הבדל של שני ריבועים

(a + b). (א - ב) = א² ב²

דוגמא

איקס² - 25 = (x + 5). (x - 5)

קוביה מושלמת (תוספת)

ה³ + 3²b + 3ab² + ב³ = (a + b)³

דוגמא

איקס³ + 6x² + 12x + 8 = x³ + 3. איקס². 2 + 3. איקס. 2² + 2³ = (x + 2)³

קוביה מושלמת (הבדל)

ה³ - 3²b + 3ab² ב³ = (a - b)³

דוגמא

y³ - 9 שנים² + 27y - 27 = y³ - 3. y². 3 + 3. y. 3² - 3³ = (y - 3)³

קרא גם:

• מוצרים בולטים
• מוצרים בולטים - תרגילים
• פונקציה פולינומית

תרגילים נפתרו

1) סווג את הפולינומים הבאים למונומיות, בינומים וטרינומים:

א) 3abcd²
ב) 3a + bc - ד²
ג) 3ab - cd²

ראה תשובה

א) מונומיום
ב) טרינום
ג) בינומי

2) ציין את מידת הפולינומים:

א) xy³ + 8xy + x²y
ב) 2x⁴ + 3
ג) ab + 2b + a
ד) זק⁷ - 10z²k³w⁶ + 2x

ראה תשובה

א) כיתה ד '
ב) כיתה ד '
ג) כיתה ב '
ד) כיתה י"א

3) מה הערך ההיקפי של האיור להלן:

ראה תשובה

היקף הדמות נמצא על ידי הוספת כל הצדדים.
2x³ + 4 + 2x³ + 4 + x³ + 1 + x³ + 1 + x³ + 1 + x³ + 1 = 8x³ + 12

4) מצא את אזור הדמות:

ראה תשובה

שטח המלבן נמצא על ידי הכפלת הבסיס בגובה.
(2x + 3). (x + 1) = 2x² + פי 5 + 3

5) גורם לפולינומים

א) 8ab + 2a²ב - 4 ב²
ב) 25 + 10y + y²
ג) 9 - ק²

ראה תשובה

א) מכיוון שיש גורמים שכיחים, הוצא גורם זה על ידי ראיית גורמים אלה: 2ab (4 + a - 2b)
ב) טרינום מרובע מושלם: (5 + y)²
ג) הפרש שני מרובע: (3 + k). (3 - k)

ראה גם: ביטויים אלגבריים ו תרגילים על ביטויים אלגבריים