מרסן, מספרים ראשוניים ומספרים מושלמים

אנו אומרים שמספר טבעי מושלם אם הוא שווה לסכום כל גורמיו (המחלקים), למעט עצמו. לדוגמה, 6 ו- 28 הם מספרים מושלמים, ראה:
6 = 1 + 2 + 3 (גורמים 6: 1, 2, 3 ו- 6), אנו לא כוללים את המספר 6.
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (גורמים 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28), אנו לא כוללים את 28.
מספרי מרסן הם אלה בצורת Mn = 2n - 1. הוא אפילו חשב שהביטוי הזה יצליח לחשב ראשוניים אפשריים בהתחשב ב- n = פריימים, אך מאוחר יותר התברר שהוא כמעט צודק. לדוגמה:
M₁ = 2¹ – 1 = 1
M₂ = 2² - 1 = 3 → n = 2 (בן דוד), מ₂ = 3 (בן דוד)
M₃ = 2³ - 1 = 7 → n = 3 (בן דוד), מ₃ = 7 (בן דוד)
M₄ = 2⁴ – 1 = 15
M₅ = 2⁵ - 1 = 31 → n = 5 (בן דוד), מ₅ = 31 (בן דוד)
M₆ = 2⁶ – 1 = 63
M₇ = 2⁷ - 1 = 127 → n = 7 (בן דוד), מ₇ = 127 (בן דוד)
M₈ = 2⁸ – 1 = 255
M₉ = 2⁹ – 1 = 511
M₁₀ = 2¹⁰ – 1 = 1023
M₁₁ = 2¹¹ - 1 = 2047 → n = 11 (בן דוד), מ₁₁ = 2047 (לא ראשוני)
M₁₃ = 2¹³ - 1 = 8191 → n = 13 (בן דוד), מ₁₃ = 8191 (בן דוד)
בתוך רצף המספרים הראשוניים ישנם אלמנטים שהוחלו בנוסחת מרסן לא יוצרים אלמנטים ראשוניים, למשל המספר 11, כאשר הוחל על הנוסחה הביא ל- 2047, מספר לא בת דודה.

הידע של מספרים מושלמים מיוחס לאוקלידס, המתמטיקאי היווני המפורסם שהקים את הגיאומטריה. השיטה בה הוא משתמש מתחילה עם הוספת כוחות של 2 לפריים. לאחר מכן מתקבל מספר מושלם על ידי הכפלת הסכום בכוח האחרון של 2.

שימו לב ליחס בין המספר המושלם למספרים הראשוניים של מרסן.

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)

מאת מארק נח
בוגר מתמטיקה
צוות בית הספר בברזיל

סטים מספריים - מתמטיקה - בית ספר ברזיל

האם תרצה להתייחס לטקסט זה בבית ספר או בעבודה אקדמית? תראה:

סילבה, מרקוס נוא פדרו דה. "מרסן, מספרים ראשוניים ומספרים מושלמים"; בית ספר ברזיל. אפשר להשיג ב: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/mersenne-numeros-primos-numeros-perfeitos.htm. גישה אליו ב -27 ביוני 2021.