הִסתַבְּרוּת. הסתברות: מושג וחישוב

הִסתַבְּרוּת זהו ענף במתמטיקה שבו מחושבים הסיכויים להתנסות. זה דרך א הִסתַבְּרוּת, למשל, שנוכל לדעת מהסיכוי לקבל ראשים או זנבות על מטבע להעיף סיכוי לטעות בסקרים.

כדי להבין ענף זה, חשוב ביותר להכיר את ההגדרות הבסיסיות ביותר שלו, כגון הנוסחה עבור ה- חישוב הסתברות בחללים לדוגמה מדויקים, הסתברות לאיחוד שני אירועים, הסתברות לאירוע המשלים וכו '

ניסוי אקראי

הוא כלשהו ניסיון שתוצאתם אינה ידועה. לדוגמא: כשמעיף מטבע ומסתכל על הצד העליון, אי אפשר לדעת איזה צד של המטבע יהיה כלפי מעלה, למעט במקרה בו המטבע מוטה (שונה כך שיהיה יותר לעתים קרובות).

נניח ששקית מכולת מכילה תפוחים ירוקים ואדומים. הוצאת תפוח מהתיק מבלי להסתכל היא גם א לְנַסוֹתאַקרַאִי.

נקודה לדוגמא

אחד ציוןלִטעוֹם האם כל תוצאה אפשרית היא לְנַסוֹתאַקרַאִי. לדוגמא: על גליל המתה התוצאה (המספר שמופיע על החלק העליון) יכולה להיות 1, 2, 3, 4, 5 או 6. כך שכל אחד מהמספרים הללו מהווה נקודת דגימה לניסוי זה.

שטח לדוגמא

או שטח לדוגמא זה ה מַעֲרֶכֶת נוצר על ידי כולם נקודות לדוגמא על אחד ניסוי אקראיכלומר על כל התוצאות האפשריות שלו. באופן זה, תמיד ניתן למצוא את התוצאה של ניסוי אקראי, גם אם הוא אינו צפוי, בתוך שטח הדגימה המתייחס אליו.

כמו רווחיםלִטעוֹם הם קבוצות של תוצאות אפשריות, אנו משתמשים בייצוגי קבוצה עבור מרחבים אלה. לדוגמא: שטח הדגימה המתייחס ל לְנַסוֹת "גלגול מת" הוא הסט Ω, כך ש:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

זֶה מַעֲרֶכֶת יכול להיות מיוצג גם על ידי דיאגרמת ון או, בהתאם לניסוי, לפי חוק היווצרות כלשהו.

או מספרבאלמנטים מרווחי המדגם מיוצג על ידי n (Ω). במקרה של הדוגמה הקודמת, n (Ω) = 6. זכור כי האלמנטים של שטח לדוגמא הם נקודותלִטעוֹםכלומר תוצאות אפשריות של ניסוי אקראי.

מִקרֶה

אירועים הם קבוצות משנה של א מֶרחָבלִטעוֹם. אחד מִקרֶה זה יכול להכיל מאפס לכל התוצאות האפשריות של ניסוי אקראי, כלומר, האירוע יכול להיות סט ריק או שטח הדגימה עצמו. במקרה הראשון, זה נקרא אירוע בלתי אפשרי. בשנייה זה נקרא אירוע נכון.

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)

עדיין לא לְנַסוֹתאַקרַאִי של גלגול מת, שימו לב להלן אירועים:

A = קבל מספר זוגי:

A = {2, 4, 6} ו- n (A) = 3

B = השאר מספר ראשוני:

B = {2, 3, 5} ו- n (B) = 3

C = צא מספר גדול או שווה ל 5:

C = {5, 6} ו- n (C) = 2

D = השאר מספר טבעי:

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ו- n (D) = 6

רווחים שניתן לאפשר להם

נקרא חלל לדוגמא שווה ערך כשכולם נקודותלִטעוֹם בתוכו יש אותו סיכוי להתרחש. זה המקרה של לחמניות או מטבעות שלא הוקצו, בחירת כדורים ממוספרים בגודל ומשקל זהים וכו '.

דוגמה של מֶרחָבלִטעוֹם שאפשר לשקול לא ניתן לאפס נוצר על ידי הבאים לְנַסוֹת: בחר בין גלידה או טיול.

חישוב הסתברות

בְּ קְטָטָה מחושבים על ידי חלוקת מספר התוצאות החיוביות עם מספר התוצאות האפשריות, כלומר:

P = הא)
n (Ω)

במקרה זה, E הוא אירוע שרוצים להכיר אותו הִסתַבְּרוּת, ו- Ω הוא ה- מֶרחָבלִטעוֹם שמכיל אותו.

לדוגמא, על גליל המתה, מה ההסתברות למספר אחד לצאת?

בדוגמה זו, היציאה מספר אחת היא אירוע E. לפיכך, n (E) = 1. שטח הדגימה של ניסוי זה מכיל שישה אלמנטים: 1, 2, 3, 4, 5 ו -6. לכן, n (Ω) = 6. לכן:

P = הא)
n (Ω)

P = 1
6

P = 0.1666 ...

P = 16.6%

דוגמה נוספת: מהי הִסתַבְּרוּת להשיג מספר זוגי כשמגלגלים מת?

המספרים הזוגיים האפשריים במות הם 2, 4 ו -6. מכאן, n (E) = 3.

P = הא)
n (Ω)

P = 3
6

P = 0.5

P = 50%

שים לב שה- קְטָטָה תמיד יביא למספר בטווח 0 ≤ x ≤ 1. הסיבה לכך היא ש- E היא תת קבוצה של Ω. בדרך זו, E יכול להכיל מאפס לכל היותר אותו מספר אלמנטים כמו Ω.

מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה

נניח שצבע העין נקבע על ידי זוגות גנים, כאשר C הוא דומיננטי לעין כהה ו- C רצסיבי לעין בהירה. גבר שיש לו עיניים כהות אך אם בהירת עיניים התחתן עם אשה בהירה שאביה בעל עיניים כהות. קבעו את ההסתברות שילדה בהירת עיניים תיוולד.

ההסתברות לזוג שילד זכר היא 0.25. קבעו את ההסתברות שבני הזוג יולידו שני ילדים ממינים שונים.