או תוכנית ארגנד-גאוס הוא מורכב משני צירים: אחד אנכי (המכונה הציר המדומה) ואחד אופקי (המכונה הציר האמיתי). זה אפשרי מייצגים גיאומטרית מספרים מסובכיםשנמצאים בצורה אלגברית.
דרך הייצוג הגיאומטרי הזה, זה אפשרי לפתח כמה מושגים, כגון המודול והוויכוח של מספר מורכב. מספרים מורכבים מיוצגים באופן אלגברי על ידי z = a + bi, ולכן הם מיוצגים על ידי נקודות (a, b), מה שמכונה חיבור.
קרא גם: ייצוג גיאומטרי של סכום המספרים המורכבים
ייצוג גיאומטרי של מספרים מורכבים
המטוס המורכב, הידוע גם בשם מטוס ארגנד-גאוס, אינו אלא אמטוס קרטזי למספרים מורכבים. במישור ארגנד-גאוס, ניתן לייצג מספר מורכב כנקודה, המכונה תחום. עם התפתחות התוכנית המורכבת, יש את פיתוח של גיאומטריה אנליטית למספרים מורכבים, המאפשרת לפתח מושגים חשובים כמו מודול ווויכוח.
מספר מורכב המיוצג בצורתו האלגברית הוא z = a + bi, על מה ה הוא החלק האמיתי ו ב הוא החלק הדמיוני. לָכֵן, מספרים מורכבים מיוצגים כנקודה (a, b). במישור ארגנד-גאוס, הציר האופקי הוא ציר החלק האמיתי והציר האנכי הוא ציר החלק הדמיוני.
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)
לְהַדבִּיק
או נקודה במישור המייצגת מספר מורכב זה נקרא גם הדבקה. ישנם שלושה מקרים אפשריים של ייצוג: הדבקות דמיוניות, הדבקות אמיתיות והדבקות דמיוניות טהורות.
הדבקות דמיוניות
סיומת ידועה כדמיונית כאשר למספר המורכב יש שניהם a חלק אמיתי וחלק דמיוני לא אפס. במקרה זה ההדבקה היא נקודה בכל אחד מארבעת הרבעים, בהתאם לערכים של a, b וסימנים בהתאמה.
דוגמא:
ראה ייצוג של מספרים מורכבים z1 = 2 + 3i, z2 = -3 - 4i, z3 = -2 + 2i ו- z4= 1 - 4i.
ראה גם: מאפיינים הכוללים מספרים מורכבים
הדבקות דמיוניות טהורות
מספר מורכב ידוע כדמיוני טהור, כאשר החלק האמיתי שלך שווה לאפסכלומר z = bi. שימו לב שבמקרה זה הקואורדינטה הראשונה היא תמיד אפס, אז בואו נעבוד עם נקודות סוג (0, b). כאשר מסמנים במישור ארגנד-גאוס, הדבקה דמיונית טהורה תמיד תהיה נקודה השייכת לציר הדמיוניכלומר לציר האנכי.
דוגמא:
ראה ייצוג של מספרים מורכבים z1 = 2i ו- z2= -3i.
הדבקות אמיתיות
מספר מורכב מסווג כ- מספר ממשיכשה... שלך חלק דמיוני שווה לאפסכלומר, z = a. במקרה זה, הקואורדינטה השנייה היא תמיד אפס, ולכן נעבוד עם נקודות סוג (a, 0), כך שהחלק הדמיוני הוא אפס וההתייחסות כלולות בציר האמיתי של המישור המורכב.
דוגמא:
ראה ייצוג של מספרים מורכבים z1 = 2 ו- z2 = -4.
מודול מספר מורכב
כאשר מייצגים מספר מורכב, תנו ל- P (a, b) להיות הסיומת של המספר המורכב z = a + bi. אנו מכירים את המודול של המספר המורכב א מרחק מנקודה P למוצא. המודול של מספר מורכב z מיוצג על ידי | z |. כדי למצוא את הערך של | z |, אנו משתמשים ב- משפט פיתגורס.
| z | ² = a² + b²
אנו יכולים לייצג גם על ידי:
דוגמא:
חשב את המודול של המספר המורכב z = 12 -5i.
| z | ² = 12² + (-5) ²
| z | ² 144 + 25
| z | ² = 169
| z | = √169
| z | = 13
גישה גם: מהם מספרים רציונליים?
טיעון מספר מורכב
אנחנו יודעים איך טַעֲנָה של מספר מורכב או זווית θ שנוצרה על ידי הווקטור OP והציר האמיתי. הטיעון של מספר מיוצג על ידי arg (z) = θ.
כדי למצוא את הזווית, אנו משתמשים ב- יחסים טריגונומטריים סינוס וקוסינוס.
כדי למצוא את ערך הוויכוח, הכרת הסינוס והקוסינוס, סתם עיין בטבלת הערכים עבור יחסים טריגונומטריים אלה. בדרך כלל, בבחינות כניסה למכללה בנושא זה, הטיעון הוא א זווית יוצאת דופן.
דוגמא:
מצא את ארגומנט המספר המורכב z = 1 + i.
ראשית בואו נחשב את המודול של z.
| z | ² = 1² + 1²
| z | ² = 1 + 1
| z | ² = 2
| z | = √2
בידיעה | z |, אנו יכולים לחשב את סינוס וקוסינוס של הזווית.
הזווית שיש לה סינוס וקוסינוס עם הערכים שנמצאו היא 45º.
תרגילים נפתרו
שאלה 1 - מה הטיעון של המספר המורכב z = √3 + i?
א) 30
ב) 45
ג) 60
ד) 90 מעלות
ה) 120
פתרון הבעיה
חלופה ג '.
אנו יודעים ש- = √3 ו- b = 1, אז:
שאלה 2 - בתוכנית המורכבת הבאה יוצגו כמה מספרים. בניתוח התוכנית נוכל לומר שהנקודות הן ייצוגים של מספרים דמיוניים טהורים:
א) M, N ו- I.
ב) P ואני.
ג) ל 'וג'.
ד) O, I, G.
ה) K, J ו- L.
פתרון הבעיה
חלופה B.
כדי לזהות מספר דמיוני טהור במישור המורכב, יש צורך שהוא יהיה על גבי הציר האנכי, שהוא, במקרה זה, נקודות P ו- I.
מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה
