תרשים ון: מה זה, למה הוא מיועד, דוגמאות

או דיאגרמת ון, המכונה גם דיאגרמת ון-אוילר, הוא א דרך לשרטט סט, לשם כך אנו משתמשים בקו סגור שאין בו צומת עצמי ואנו מייצגים את מרכיבי הסט בתוך קו זה. הרעיון של התרשים הוא להקל על ההבנה ב פעולות סט בסיסיות, כגון: הכללה ויחסי שייכות, איחוד וצומת, הבדל ומערך משלים.

קרא גם: פעולות בין מספרים שלמים: דעו את המאפיינים

ייצוגי תרשים ון

כפי שמוצג, דיאגרמת ון מורכבת מקו סגור (שאינו שזור) שעליו אנו "מניחים" את אלמנטים של הסט המדובר, כך שנוכל מייצגים קבוצה אחת או כמה בּוֹ זְמַנִית. ראה את הדוגמאות:

• סט יחיד

אנו יכולים לייצג אותך באמצעות קו סגור יחידלדוגמא, בואו נציג את הסט A = {1, 3, 5, 7, 9}:

• בין שתי סטים

עלינו ליצור שני גרפים כמו זה לייצוג הסט היחיד. עם זאת, מפעולות עם סטים אנו יודעים כי: בהינתן שתי קבוצות, הן עשויות להצטלב או לא. אם שתי הערכות אינן מצטלבות, הן נקראות סטים מחוברים.

דוגמה 1

מגרש, באמצעות דיאגרמת ון, את הקבוצות A = {a, b, c, d, e, f} ו- B = {d, e f, g, h, i}.

שים לב שהצומת הוא החלק בתרשים השייך לשתי הערכות, בדיוק כמו בהגדרה.

A ∩ B = {d, e, f}

דוגמה 2

התווה את הסטים C = {a, b, c, d} ו- D = {e, f, g, h}.

instagram story viewer

שים לב שצומת הסטים הללו ריק, מכיוון שאין בו שום אלמנט השייך בו זמנית לשניהם, כלומר:

C ∩ D = {}

• בין שלוש סטים

הרעיון מאחורי הייצוג באמצעות דיאגרמת ון לשלוש קבוצות דומה לייצוג בין שתי קבוצות. במובן זה, קבוצות יכולות להיות מפורקות אחת אחת, כלומר אין להן שום צומת; או שהם יכולים להתנתק בין שניים לשניים, כלומר, רק שניים מהם מצטלבים; או כולם מצטלבים.

דוגמא

ייצוג, באמצעות דיאגרמת ון, של קבוצות A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} ו- C = {d, e, c, h}.

ראה גם: סימני סט חשובים

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)

יחסי חברות

יחסי החברות מאפשרים לנו לומר אם אלמנט שייך או לא למערך מסוים. לשם כך אנו משתמשים בסמלים:

שקול את הסט A = {a, b, c, d}. בניתוח זה, אנו מבינים זאת ז, למשל, לא שייך לו, אז בתרשים ון יש לנו:

יחסי הכללה

יחסי ההכלה מאפשרים לנו לומר בין אם סט נכלל בערכה אחרת ובין אם לא. כאשר סט מכיל אחר, אנו אומרים שהוא א תת-קבוצה. לשם כך אנו משתמשים בסמלים:

דוגמא לכך היא הקשר בין מערך מספרים טבעיים וסט של מספרים שלמים. אנו יודעים שמכלול המספרים הטבעיים הוא תת קבוצה של קבוצת המספרים השלמים, כלומר מערך הטבעיים נכלל בקבוצת המספרים השלמים.

פעולות בין סט לסט

הפעולות הבסיסיות בין שתי קבוצות או יותר הן: אַחְדוּת, הִצטַלְבוּת ו ההבדל בין שתי סטים.

• איחוד

האיחוד בין שתי קבוצות נוצר על ידי הצטרפות לאלמנטים הכלולים בכל קבוצה, במילים אחרות: כל האלמנטים של שתי המערכות נחשבים. תראה:

שקול את הסטים A = {1, 2, 3, 4} ו- B = {3, 4, 5, 6, 7}. האיחוד ביניהם ניתן על ידי:

A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

בתרשים ון הצלנו את חלק האיחוד, כלומר, שני הסטים, בדקו:

• צומת

הצומת הוא מערך מספרי חדש שנוצר על ידי אלמנטים השייכים, בו זמנית, לסטים אחרים. באופן כללי, הצומת בין הסטים בתרשים ון ניתן על ידי החלק המשותף לגרפים המעורבים. תראה:

בהתחשב שוב בקבוצות A = {1, 2, 3, 4} ו- B = {3, 4, 5, 6, 7}, יש לנו שהאלמנטים השייכים לקבוצת A ולמערכת B, בו זמנית, הם :

A ∩ B = {3,4}

• ההבדל בין שתי סטים

שקול שתי קבוצות C ו- D, ההבדל ביניהן (C - D) יהיה מערך חדש שנוצר על ידי אלמנטים השייכים ל- C ולא שייכים ל- D. באופן כללי, אנו יכולים לייצג את ההבדל הזה באמצעות דיאגרמת ון, באופן הבא:

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - (Ufal) באיור הבא, יוצגו קבוצות A, B ו- C שאינן מחולקות. האזור הצבעוני מייצג את הסט:

א) C - (A ∩ B)

ב) (A ∩ B) - ג

ג) (A U B) - ג

ד) A U B U C

ה) A ∩ B ∩ C

פִּתָרוֹן

חלופה ב.

כשאנחנו זוכרים את הפעולות עם קבוצות, אנו יודעים שההצטלבות בין שתי קבוצות בתרשים ון ניתנת על ידי החלק המשותף להם. בהתחשב בקבוצות A, B ו- C וצביעת צומת הסט A ∩ B, יש לנו:

כותרת: שאלה לפיתרון 1 - חלק 1

שימו לב שאם אנו מסירים את האלמנטים מהמערכת C, נקבל את החלק הצבעוני המבוקש על ידי התרגיל, כלומר עלינו להדגיש תחילה את הצומת ואז להסיר את האלמנטים מ- C.

(A ∩ B) - ג

שאלה 2 - (Uerj) ילדים בבית ספר השתתפו בקמפיין חיסונים נגד שיתוק תינוקות וחצבת. לאחר הקמפיין נמצא כי 80% מהילדים קיבלו את החיסון לשיתוק, 90% קיבלו את החיסון נגד חצבת, ו -5% לא קיבלו אף אחד מהם.

קבע את אחוז הילדים בבית ספר זה שקיבלו את שני החיסונים.

פִּתָרוֹן

מכיוון שאחוז הילדים שקיבלו את שני החיסונים אינו ידוע, נקרא לזה בהתחלה x. זכרו שאסור לנו לפעול עם סמל%, אלא לכתוב את אחוזי התרגיל בצורתם העשרונית או השברית.

80 % → 0,8

90% → 0,9

5% → 0,05

100% → 1

כדי לברר את המספר הכולל של ילדים שלקחו רק את החיסון לשיתוק, גררנו את האחוז המאומת (80%) אחוז האחוזים שלקחו את שניהם (x), ואותו הדבר צריך לעשות לילדים שלקחו רק את החיסון נגד חַצֶבֶת. לכן: