המחקר אודות סטים מספריים מהווה אחד התחומים העיקריים במתמטיקה, שכן הם חשובים מאוד להתפתחות התיאורטית של האזור ויש להם כמה יישומים מעשיים. סטים מספריים כוללים לימוד:
- מספרים טבעיים;
- מספרים שלמים;
- מספר רציונלי;
- מספרים אי - רציונליים;
- מספרים אמיתיים; ו
- מספרים מסובכים.
קרא עוד: מספרים ראשוניים - מספרים שיש בהם רק 1 והם עצמם כמפרידים
סט של מספרים טבעיים
התפתחותן של התרבויות הראשונות הביאה עמה את שיפור החקלאות והמסחר וכתוצאה מכך באמצעות מספרים לייצוג כמויות. הסט הראשון הגיע באופן טבעי ומכאן שמו. הסט הנקוב הטבעי משמש לייצוג כמויות, והוא מסומן על ידי סמל ℕ ונכתב בצורת רצף. תראה:
או סט מספרים נטורההוא é אינסופי וסגור לפעולות של חיבור וכפלכלומר, בכל פעם שאנחנו מוסיפים או מכפילים שני מספרים טבעיים, התשובה עדיין טבעית. עם זאת, להפעלת חיסור ו חֲלוּקָה, הסט אינו סגור. תראה:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
שים לב שהמספרים –1 ו 0,5 הם אינם שייכים למכלול הטבעיים, וזו ההצדקה ליצור וללמוד קבוצות חדשות של מספרים.
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)
כמו כן, הצבת כוכבית (*) בסמל הסט הטבעי, עלינו להסיר את המספר אפס מהרשימה, ראה:
מספרים שלמים מוגדרים
כל המספר שנקבע עלה עם צריך לבצע את פעולת חִסוּר ללא הגבלות. כפי שראינו, כאשר מקטינים מספר קטן יותר מזה גדול יותר, התשובה אינה שייכת לקבוצת הטבעיים.
קבוצת המספרים השלמים מיוצגת גם על ידי רצף מספרי אינסופי ומסומנת על ידי ה- סמל ℤ.
כמו בקבוצת המספרים הטבעיים, על ידי הצבת כוכבית בסמל ℤ, האלמנט אפס מוסר מהקבוצה, כך:
הסמל (-) המלווה מספר מציין שהוא סימטרי, ולכן הסימטריה של המספר 4 היא המספר –4. שים לב גם שמכלול המספרים הטבעיים נכלל במערך המספרים השלמים, כלומר מערך המספרים הטבעיים הוא קבוצת משנה של קבוצת המספרים השלמים.
ℕ ⸦ ℤ
קרא גם: פעולות עם מספרים שלמים - מה הם ואיך לחשב?
קבוצה של מספרים רציונליים
או קבוצה של מספרים רציונליים é מיוצג על ידי הסמל ℚ ואינו מיוצג על ידי רצף מספרי. קבוצה זו מורכבת מכל המספרים שניתן לייצג כשבר. אנו מייצגים את מרכיביו באופן הבא:
אנו יודעים שכל מספר שלם יכול להיות מיוצג על ידי a שברירכלומר, קבוצת המספרים השלמים כלולה במערך המספרים הרציונליים, אז, קבוצת המספרים השלמים היא קבוצת משנה של הרציונלים.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
מספרים בעלי ייצוג אינסופי, כגון מעשר תקופתי, יש גם ייצוג בצורה של שבר, ולכן הם גם רציונליים.
קרא גם: פעולות עם שברים - שלב אחר שלב כיצד לפתור אותן
קבוצה של מספרים לא רציונליים
כפי שראינו, מספר הוא רציונלי אם ניתן לכתוב אותו כשבר. נאמר גם כי מספרים אינסופיים ותקופתיים הם רציונליים, אולם ישנם מספרים לא ניתן לכתוב בצורה של שבר ואשר, לפיכך, אינם שייכים למכלול המספרים הרציונליים.
מספרים לא רציונליים אלה נקראים לא הגיוני ובעלי המאפיינים העיקריים הם אינסוף החלק העשרוני ולא תדרכלומר, אף מספר בחלק העשרוני אינו חוזר על עצמו. ראה כמה דוגמאות ל מספרים אי - רציונליים.
- דוגמה 1
שורשי הריבוע של המספרים שאינם ריבועים מושלמים.
- דוגמה 2
קבועים שמקורם בסיבות מיוחדות כמו מספר זהב, מספר אוילר או פי.
סט מספרים אמיתיים
או סט מספרים אמיתיים מיוצג על ידי הסמל ℝ ונוצר על ידי ה- אַחְדוּתשל קבוצת המספרים הרציונליים עם קבוצת המספרים הלא רציונליים. זכרו שמכלול הרציונלים הוא איחוד קבוצות טבעיות ומספרים שלמים.
כאשר אנו מסדרים את המספרים האמיתיים על שורה, יש לנו שהמספר אפס הוא מקור השורה, מימין לאפס יהיו המספרים החיוביים, ומשמאל המספרים השליליים.
מכיוון שציר זה אמיתי, נוכל לומר שבין שני מספרים ישנם מספרים אינסופיים וגם כי ציר זה הוא אינסופי גם בשני כיוון חיובי כשנמצא כיוון שלילי.
קבוצה של מספרים מורכבים
או סט מספרים מורכב זה ה אחרון והיא קמה מאותה סיבה כמו קבוצת המספרים השלמים, כלומר מדובר בפעולה שהתפתחותה רק עם מכלול הריאלים אינה אפשרית.
בפתרון המשוואה הבאה, ראו שאין לה פיתרון, בידיעתם רק את המספרים האמיתיים.
איקס2 + 1 = 0
איקס2 = –1
שימו לב שעלינו למצוא מספר שכאשר לְהַעֲלוֹתדאו בריבוע, מביא למספר שלילי. אנחנו יודעים את זה כל מספר בריבוע הוא תמיד חיובילכן אין לחישוב זה פיתרון אמיתי.
כך נוצרו המספרים המורכבים, שבהם יש לנו a מספר דמיוני מסומן על ידי אני, בעל הערך הבא:
אז, תבינו שה- משוואה שלפני כן לא היה לו פיתרון עכשיו. לבדוק:
קרא עוד: מאפיינים הכוללים מספרים מורכבים
מרווחים בפועל
במקרים מסוימים לא נשתמש בכל ציר אמיתי, כלומר נשתמש בחלקים ממנו שייקראו נשבר. מרווחים אלה הם קבוצות משנה של קבוצת המספרים האמיתיים. לאחר מכן, נקבע כמה סימנים עבור קבוצות משנה אלה.
טווח סגור - מבלי לכלול את הקיצוניות
מרווח נסגר כשהוא יש לו שני קצוותכלומר המינימום והמקסימום, ובמקרה זה הקיצוניות לא שייכים לטווח. נציין זאת באמצעות כדור פתוח. תראה:
באדום המספרים השייכים לטווח זה, כלומר הם מספרים גדול מ a וקטן מ b. באופן אלגברי אנו כותבים מרווח כזה כדלקמן:
ה < איקס
כאשר המספר x הוא כל המספרים האמיתיים שנמצאים בטווח זה. אנו יכולים גם לייצג אותו באופן סמלי. תראה:
]ה; ב [ אוֹ (ה; ב)
טווח סגור - כולל קיצוניות
עכשיו נשתמש בכדורים סגורים כדי לייצג זאת הקיצוניות שייכת לטווח.
אז אנחנו אוספים מספרים אמיתיים שבין a ל b, כולל אותם. באופן אלגברי אנו מבטאים מרווח כזה על ידי:
את ≤ איקסב
באמצעות סימון סמלי יש לנו:
[ה; ב]
טווח סגור - כולל אחד הקיצוניים
עדיין אנו מתעסקים במרווחים סגורים, כעת יש לנו המקרה שבו רק אחת מהקיצוניות כלולה. לכן אחד הגולות ייסגר, המציין שהמספר שייך לטווח, והשני לא, המציין שהמספר לא שייך לטווח זה.
באופן אלגברי אנו מייצגים טווח זה באופן הבא:
את ≤ איקס
באופן סמלי יש לנו:
[ה; ב [ אוֹ [ה; ב)
טווח פתוח - ללא סוף כלול
טווח נפתח כאשר אין רכיב מקסימלי או מינימלי. כעת נראה מקרה טווח פתוח שיש בו רק אלמנט מקסימלי, שאינו נכלל בטווח.
ראה שהטווח מורכב מ מספרים אמיתיים פחות מב, ושימו לב גם לכך המספר b אינו שייך לטווח (כדור פתוח), כך, באופן אלגברי, אנו יכולים לייצג את המרווח על ידי:
איקס
באופן סמלי אנו יכולים לייצג אותו על ידי:
] – ∞; ב [ אוֹ (– ∞; ב)
טווח פתוח - כולל הקיצוניות
דוגמה נוספת לטווח פתוח היא המקרה בו הקיצוניות כלולה. כאן יש לנו טווח שבו האלמנט המינימלי מופיע, ראה:
שים לב שכל המספרים האמיתיים גדולים או שווים למספר a, כך שנוכל לכתוב טווח זה באופן אלגברי על ידי:
איקסל
באופן סמלי יש לנו:
[ה; +∞[ אוֹ [ה; +∞)
טווח פתוח
מקרה נוסף של טווח פתוח נוצר על ידי מספרים גדולים וקטנים יותר מהמספרים הקבועים בקו האמיתי. תראה:
שים לב שהמספרים האמיתיים השייכים לטווח זה הם המספרים הקטנים או שווים למספר a, או המספרים הגדולים מהמספר b, ולכן עלינו:
איקס ל אוֹאיקס > ב
באופן סמלי יש לנו:
] – ∞; א] U] ב; + ∞[
אוֹ
(– ∞; א] U (ב; + ∞)
מאת רובסון לואיז
מורה למתמטיקה
