IL analisi combinatoria è un campo di studio in matematica associato alle regole di conteggio. All'inizio del XVIII secolo, lo studio dei giochi con dadi e carte ha portato ad un grande sviluppo delle teorie del conteggio.
Il lavoro della combinatoria consente la realizzazione di conteggi sempre più accurati.Il principio fondamentale del conteggio (PFC), il fattoriale e i tipi di raggruppamento sono esempi di concetti studiati in analisi combinatoria, che, oltre a fornire più grande la precisione aiuta nolo sviluppo di altre aree della matematica, come Il probabilità e oh Binomio di Newton.
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A cosa serve l'analisi combinatoria?
L'analisi combinatoria è associata al processo di conteggio, ovvero lo studio di quest'area della matematica ci consente di sviluppare strumenti che ci aiutano a svolgere conta in modo più efficiente. Diamo un'occhiata a un tipico problema di conteggio, vedi:
Esempio 1
Consideriamo tre città A, B e C collegate dalle autostrade R
1, R2, R3, R4 e R5. Determina in quanti modi possiamo andare dalla città A alla città C passando per la città B.
Nota che dobbiamo lasciare la città A e andare nella città B, e solo allora possiamo viaggiare nella città C, quindi analizziamo tutti i possibilità per svolgere l'evento seguendo le autostrade.
1° modo: R1 → R3
2° modo: R1 → R4
3° modo: R1 → R5
4° modo: R2 → R3
5° modo: R2 → R4
6° modo: R2 → R5
Quindi abbiamo sei modi diversi per andare dalla città A alla città C passando per la città B. Tuttavia, si noti che il problema proposto è relativamente semplice e che l'analisi eseguita è stata poco laboriosa. Quindi, d'ora in poi, studieremo strumenti più sofisticati che permettano di risolvere i problemi con molto meno lavoro.
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Principio fondamentale del conteggio (PFC)
Consideriamo un evento E che può essere eseguito in n passi indipendenti e consecutivi. Si consideri ora che il numero di possibilità di eseguire il primo passo è pari a P1, immaginiamo anche che il numero di possibilità per realizzare la seconda fase sia P.2, e così via, fino a raggiungere l'ultimo stadio, che ha Pno possibilità da eseguire.
Il Principio Fondamentale del Conteggio (PFC) afferma che il possibilità totali di tenere l'evento E è dato da:
P1 ·P2 · … · Pno
Quindi il totale è dato dal prodotto delle possibilità di ciascuno dei passi che costituiscono l'evento E. Si noti che, per determinare le possibilità totali per lo svolgimento dell'evento E, è necessario conoscere le possibilità totali per ciascuna delle fasi.
Esempio 2
Rifacciamo l'esempio 1 usando il principio fondamentale del conteggio.
Considera l'immagine nell'esempio 1.
Tieni presente che l'evento può essere eseguito in due fasi, la prima dalla città A alla città B e la seconda dalla città B alla città C. Per eseguire il primo passo, abbiamo due possibilità (strade R1 e R2), e per realizzare la seconda fase abbiamo tre possibilità (R3, R4 e R5).
1° passo → due possibilità
2° stadio → tre possibilità
Per il principio fondamentale del conteggio, dobbiamo moltiplicare le possibilità totali di ogni passo.
2 · 3
6
Pertanto, per passare dalla città A alla città C passando per la città B, abbiamo un totale di sei possibilità.
Esempio 3
In quanti modi si possono distribuire le tre medaglie olimpiche in una gara di Mountain bike con cinque concorrenti?
Organizzare la distribuzione delle medaglie è un evento che può essere svolto in tre fasi. Il primo passo è analizzare le possibilità totali di chi otterrà la medaglia d'oro, cioè, cinque possibilità.
Il secondo passo è analizzare le possibilità di chi otterrà la medaglia d'argento, cioè, quattro, poiché il primo posto non rientra in questa scelta. Il terzo passo è analizzare le possibilità totali di chi otterrà la medaglia di bronzo, cioè, tre, poiché i primi due sono già stati scelti.
1° passo → cinque possibilità
2° stadio → quattro possibilità
3° stadio → tre possibilità
Quindi, per il principio fondamentale del conteggio, abbiamo:
5 · 4 · 3
60 possibilità
Vedi anche: Principio del conteggio additivo - unione di uno o più insiemi
Fattoriale
oh fattoriale è un modo di scomporre un numero naturale. Per calcolare il fattoriale di un numero basta moltiplicarlo per tutti i suoi predecessori fino al numero 1. Il fattoriale è rappresentato dal punto esclamativo — “!”.
Vedi alcuni esempi di come calcolare il fattoriale di alcuni numeri.
Il) 2! (si legge: due fattoriali)
Per il calcolo basta moltiplicare il numero che accompagna il fattoriale per tutti i suoi predecessori fino al numero 1, così:
2! = 2 ·1 = 2
B) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
ç) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
d) 1! = 1
Formalmente possiamo scrivere il fattoriale come segue:
Consideriamo un numero naturale n > 2. Il fattoriale di n è indicato da n! ed è dato moltiplicando n per tutti i suoi predecessori interi positivi.
no! = n (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) · … · 1
Nota i seguenti fattoriali:
4! e 5!
Ora esegui lo sviluppo di entrambi:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Si noti che nello sviluppo di 5! appare lo sviluppo di 4!. Quindi possiamo scrivere il 5! così:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
Esempio 4
Calcola il fattoriale secululare:
Guarda che il 15! è stato sviluppato fino al 13!. Nota anche che, nel numeratore della frazione, gli elementi vengono moltiplicati, quindi possiamo "tagliare" il 13!, ottenendo solo 15 · 14.
Osservazione:0! = 1
Tipi di raggruppamento
Alcuni problemi di conteggio sono più complessi e più facilmente risolvibili con nuovi strumenti. Questi strumenti sono chiamati raggruppamento perché raggruppano gli elementi in modi diversi, facilitando il processo di conteggio. Questi raggruppamenti sono: disposizione semplice, permutazione e combinazione semplice.
disposizione semplice
Consideriamo un insieme con n elementi distinti. chiamiamolo preparativi da n gli elementi presi da p a p, l'eventuale sequenza ordinata da p, e gli elementi distinti scelti tra gli elementi.
Quindi, il numero di sottoinsiemi formati da p elementi sarà la disposizione di n elementi presi da p a p. La formula che ci permette di calcolare il numero di disposizioni è data da:
Esempio 5
Calcola il valore di A4,2 + A5,2.
Per calcolare il valore dell'espressione, determiniamo ciascuno degli array e quindi aggiungiamo questi valori insieme. Per determinare il valore di ogni array, dobbiamo sostituire i valori nella formula.
Nota che n = 4 e p = 2, entrambi sono stati sostituiti nella formula. Ora, dobbiamo calcolare il valore dell'array di cinque elementi presi a due a due.
Quindi, dobbiamo:
IL4,2 + A5,2
12 + 20
32
Esempio 6
Quanti numeri naturali di quattro cifre distinti si possono formare usando i numeri 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
In questo problema possiamo usare la disposizione semplice, poiché 2435 ≠ 4235. Vedremo che, in alcuni casi, l'ordine degli elementi non li differenzia, e quindi non possiamo usare la disposizione.
Poiché vogliamo determinare il totale dei numeri che possono essere formati, notiamo che il totale degli elementi è uguale a otto, e vogliamo raggrupparli quattro per quattro, quindi:
permutazione semplice
Consideriamo un insieme con n elementi. chiamiamolo permutazione semplice di n elementi ogni disposizione di n elementi presi da n a n. Quindi dobbiamo:
Affinché non vi sia confusione tra i concetti, indichiamo la semplice permutazione di n elementi per Pno. Quindi dobbiamo:
Pno = n!
Esempio 7
Calcola P7 e P3.
Per calcolare queste permutazioni, dobbiamo sostituire i valori nella formula. Guarda:
P7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
P3 = 3 · 2 · 1
P3 = 6
Esempio 8
Determina quanti anagrammi possono esserci nella parola Brasile.
Intendiamo per anagramma tutte le possibili trasposizioni delle lettere della parola, ad esempio "Lisarb" è un anagramma della parola Brasile. Per determinare il numero di anagrammi, dobbiamo calcolare la permutazione delle lettere nella parola, quindi dobbiamo:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Pertanto, la parola Brasile ha 720 anagrammi.
Accedi anche a: Permutazione con elementi ripetuti
combinazione semplice
Consideriamo un insieme A con n elementi distinti. chiamiamolo combinazione degli n elementi presi da p a p qualsiasi sottoinsieme di A formato da p elementi. La formula per calcolare la combinazione è data da:
Esempio 9
Calcola la combinazione di 10 elementi presi da quattro a quattro.
Esempio 10
Quanti quadrilateri distinti possiamo formare con vertici nei punti A, B, C, D, E e F?
Nota che il quadrilatero ABCD è lo stesso del quadrilatero CDBA in questo contesto, quindi dovremmo usare la combinazione e non gli array. Abbiamo un totale di sei punti e vogliamo combinarli quattro per quattro, in questo modo:
Pertanto, possiamo formare 15 quadrilateri distinti.
Analisi combinatoria e probabilità
Lo studio di la probabilità è strettamente correlata allo studio dell'analisi combinatoria.. In alcuni problemi di probabilità è necessario determinare lo spazio campionario, che consiste in un insieme formato da tutti i possibili esiti di un dato evento.
In alcuni casi, lo spazio campionario E è scritto molto direttamente, come nel lancio di una moneta equilibrata, dove i possibili esiti sono testa o croce e sono indicati come segue:
E = {testa, croce}
Ora immagina la seguente situazione: un dado viene lanciato tre volte consecutive e siamo interessati a determinare lo spazio campionario per questo esperimento. Nota che annotare tutte le possibilità non è più un compito semplice, dobbiamo usare il principio fondamentale del conteggio (PFC). L'evento può essere eseguito in tre fasi, in ognuna di esse abbiamo sei possibilità, poiché un dado ha sei facce, in questo modo:
1° stadio → sei possibilità
2° stadio → sei possibilità
3° stadio → sei possibilità
Per il PFC, abbiamo che il totale delle possibilità è:
6 · 6 · 6
216
Quindi possiamo dire che lo spazio campionario di questo evento è 216.
Vedi che per lo studio della probabilità è è richiesta una conoscenza di base dell'analisi combinatoria., perché, senza determinare lo spazio campionario di un esperimento, è impossibile risolvere la stragrande maggioranza degli esercizi di probabilità. Per ulteriori dettagli su questo campo della matematica, leggi il testo:Probabilità.
Esercizi risolti
domanda 1 – Determinare il numero di anagrammi della parola castello. Quindi determinare il numero di anagrammi che iniziano con la lettera c.
Risoluzione
Per determinare il numero di anagrammi, dobbiamo calcolare la permutazione del numero di lettere, in questo modo:
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
La parola ha 5040 anagrammi. Ora, per determinare il numero di anagrammi che iniziano con la lettera c, dobbiamo fissare la lettera e calcolare l'anagramma degli altri, vedi:
Ç__ __ __ __ __ __
Quando fissiamo la lettera c, nota che ci sono sei campi rimasti per calcolare la permutazione, in questo modo:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Quindi abbiamo 720 anagrammi della parola castello che iniziano con la lettera c.
Domanda 2 – In una classe ci sono cinque uomini e sette donne. Quanti gruppi di tre uomini e quattro donne si possono formare?
Risoluzione
Innanzitutto, vedi che l'ordine in cui scegliamo le persone non ha importanza, ad esempio il gruppo formato da João, Marcos e José è lo stesso gruppo formato da Marcos, João e José, quindi dobbiamo usare la combinazione per il calcolo.
Calcoliamo separatamente il numero di gruppi che possono essere formati da uomini e donne, e in Allora moltiplichiamo questi risultati, perché ogni gruppo di uomini può mescolarsi con ogni gruppo di donne.
Uomini
Totale → 5
Quantità nel gruppo → 3
Donne
Totale → 7
Quantità in gruppo → 4
Pertanto, il numero totale di gruppi che possono essere formati da tre uomini e quattro donne è:
Ç5,3 · Ç7,4
10 · 35
350
di Robson Luiz
Insegnante di matematica
