La fattorizzazione è un processo utilizzato in matematica che consiste nel rappresentare un numero o un'espressione come prodotto di fattori.
Scrivendo un polinomio come la moltiplicazione di altri polinomi, spesso possiamo semplificare l'espressione.
Dai un'occhiata ai tipi di fattorizzazione polinomiale di seguito:
Fattore comune nelle prove
Usiamo questo tipo di fattorizzazione quando c'è un fattore che si ripete in tutti i termini del polinomio.
Questo fattore, che può contenere numeri e lettere, sarà posto davanti alle parentesi.
All'interno delle parentesi sarà il risultato della divisione di ogni termine del polinomio per il fattore comune.
In pratica, eseguiamo i seguenti passaggi:
1º) Individua se esiste un numero che divide tutti i coefficienti del polinomio e le lettere che si ripetono in tutti i termini.
2º) Metti i fattori comuni (numero e lettere) davanti alle parentesi (in evidenza).
3°) Metti tra parentesi il risultato della divisione di ciascun fattore del polinomio per il fattore in evidenza. Nel caso delle lettere, usiamo la regola della divisione dei poteri della stessa base.
Esempi
a) Qual è la forma fattorizzata del polinomio 12x + 6y - 9z?
Innanzitutto, identifichiamo che il numero 3 divide tutti i coefficienti e che non ci sono lettere che si ripetono.
Mettiamo il numero 3 davanti alle parentesi, dividiamo tutti i termini per tre e il risultato lo metteremo all'interno delle parentesi:
12x + 6a - 9z = 3 (4x + 2a - 3z)
b) Fattore 2a2b + 3a3circa4.
Poiché non esiste un numero che divide 2, 3 e 1 contemporaneamente, non metteremo alcun numero davanti alle parentesi.
La lettera Il si ripete in tutti i termini. Il fattore comune sarà il Il2, che è il più piccolo esponente di Il nell'espressione.
Dividiamo ogni termine del polinomio per Il2:
2°2 b: il2 = 2°2 - 2 b = 2b
3°3c: il2 = 3°3 - 2 c = 3ac
Il4: a2 = il2
Mettiamo il Il2 davanti alle parentesi e ai risultati delle divisioni tra parentesi:
2°2b + 3a3circa4 = il2 (2b + 3ac - a2)
raggruppamento
Nel polinomio che non esiste un fattore che si ripete in tutti i termini, possiamo usare la fattorizzazione per raggruppamento.
Per questo, dobbiamo identificare i termini che possono essere raggruppati per fattori comuni.
In questo tipo di fattorizzazione, mettiamo in evidenza i fattori comuni dei raggruppamenti.
Esempio
Fattorizzare il polinomio mx + 3nx + my + 3ny
I termini mx e 3nx ha come fattore comune il X. già i termini mio e 3ny hanno come fattore comune il sì.
Mettendo in evidenza questi fattori:
x (m + 3n) + y (m + 3n)
Nota che (m + 3n) è ora ripetuto anche in entrambi i termini.
Mettendolo nuovamente in evidenza, troviamo la forma fattorizzata del polinomio:
mx + 3nx + mio + 3ny = (m + 3n) (x + y)
Trinomio quadrato perfetto
I trinomi sono polinomi con 3 termini.
I trinomi quadrati perfetti a2 + 2ab + b2 e il2 - 2ab + b2 risultato del notevole prodotto del tipo (a + b)2 e (a - b)2.
Pertanto, la fattorizzazione del trinomio quadrato perfetto sarà:
Il2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (quadrato della somma di due termini)
Il2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (quadrato della differenza di due termini)
Per scoprire se un trinomio è davvero un quadrato perfetto, facciamo quanto segue:
1º) Calcola la radice quadrata dei termini che appaiono al quadrato.
2) Moltiplicare i valori trovati per 2.
3°) Confronta il valore trovato con il termine che non ha quadrati. Se sono uguali, è un quadrato perfetto.
Esempi
a) Fattorizzare il polinomio x2 + 6x + 9
Innanzitutto, dobbiamo verificare se il polinomio è un quadrato perfetto.
x2 = x e 9 = 3
Moltiplicando per 2 troviamo: 2. 3. x = 6x
Poiché il valore trovato è uguale al termine non al quadrato, il polinomio è perfetto al quadrato.
La fattorizzazione sarà quindi:
X2 + 6x + 9 = (x + 3)2
b) Fattorizzare il polinomio x2 - 8xy + 9y2
Verifica se è un trinomio quadrato perfetto:
x2 = x e 9y2 = 3y
Facendo la moltiplicazione: 2. X. 3y = 6xy
Il valore trovato non corrisponde al termine del polinomio (8xy ≠ 6xy).
Poiché non è un trinomio quadrato perfetto, non possiamo usare questo tipo di fattorizzazione.
Differenza di due quadrati
Fattorizzare polinomi di tipo a2 - B2 usiamo il notevole prodotto di somma e differenza.
Pertanto, la fattorizzazione di polinomi di questo tipo sarà:
Il2 - B2 = (a + b). (a - b)
Per fattorizzare, dobbiamo calcolare la radice quadrata dei due termini.
Quindi scrivi il prodotto della somma dei valori trovati e la differenza tra questi valori.
Esempio
Fattorizzare il binomio 9x2 - 25.
Innanzitutto, trova la radice quadrata dei termini:
9x2 = 3x e √25 = 5
Scrivi questi valori come prodotto della somma e della differenza:
9x2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)
cubo perfetto
i polinomi a3 + 3°2b+3ab2 + b3 e il3 - 3°2b+3ab2 - B3 risultato del notevole prodotto del tipo (a + b)3 o (a - b)3.
Quindi, la forma fattorizzata del cubo perfetto è:
Il3 + 3°2b+3ab2 + b3 = (a + b)3
Il3 - 3°2b+3ab2 - B3 = (a - b)3
Per scomporre tali polinomi, dobbiamo calcolare la radice cubica dei termini rispetto al cubo.
Successivamente, è necessario confermare che il polinomio è un cubo perfetto.
In tal caso, mettiamo al cubo la somma o la sottrazione dei valori delle radici cubiche trovate.
Esempi
a) Fattorizzare il polinomio x3 + 6x2 + 12x + 8
Innanzitutto, calcoliamo la radice cubica dei termini al cubo:
3x3 = x e 3√ 8 = 2
Quindi conferma se è un cubo perfetto:
3. X2. 2 = 6x2
3. X. 22 = 12x
Poiché i termini trovati sono gli stessi dei termini del polinomio, allora è un cubo perfetto.
La fattorizzazione sarà quindi:
X3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
b) Fattorizzare il polinomio a3 - 9°2 + 27 - 27
Per prima cosa calcoliamo la radice cubica dei termini al cubo:
3per3 = a e 3√ - 27 = - 3
Quindi conferma se è un cubo perfetto:
3. Il2. (-3) = - 9°2
3. Il. (- 3)2 = 27
Poiché i termini trovati sono gli stessi dei termini del polinomio, allora è un cubo perfetto.
La fattorizzazione sarà quindi:
Il3 - 9°2 + 27a - 27 = (a - 3)3
Leggi anche tu:
- potenziamento
- polinomi
- Funzione polinomiale
- numeri primi
Esercizi risolti
Fattorizzare i seguenti polinomi:
a) 33x + 22a - 55z
b) 6nx - 6ny
c) 4x – 8c + mx – 2mc
d) 49 - il2
e) 9°2 + 12° + 4
a) 11. (3x + 2a - 5z)
b) 6n. (x - y)
c) (x – 2c). (4 + m)
d) (7 + a). (7-a)
e) (3° + 2)2
Vedi anche:
- Espressioni algebriche
- Esercizi sulle espressioni algebriche
- Prodotti notevoli
- Prodotti degni di nota - Esercizi
