Geometria Analitica: concetti e formule principali

La geometria analitica studia gli elementi geometrici in un sistema di coordinate in un piano o in uno spazio. Questi oggetti geometrici sono determinati dalla loro posizione e posizione in relazione ai punti e agli assi di questo sistema di orientamento.

Sin dai popoli antichi, come gli egizi e i romani, l'idea delle coordinate è già apparsa nella storia. Ma fu nel XVII secolo, con i lavori di René Descartes e Pierre de Fermat, che questo campo della matematica fu sistematizzato.

Sistema ortogonale cartesiano

Il sistema cartesiano ortogonale è una base di riferimento per la localizzazione delle coordinate. È costituito, in un piano, da due assi perpendicolari tra loro.

L'origine O(0,0) di questo sistema è l'intersezione di questi assi.
L'asse x è l'ascissa.
L'asse y è l'ordinata.
I quattro quadranti sono orientati in senso antiorario.

coppia ordinata

Ogni punto del piano ha la coordinata P(x, y).

x è l'ascissa del punto P e costituisce la distanza dalla sua proiezione ortogonale sull'asse x all'origine.

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y è l'ordinata del punto P ed è la distanza dalla sua proiezione ortogonale sull'asse y all'origine.

distanza tra due punti

La distanza tra due punti sul piano cartesiano è la lunghezza del segmento che unisce questi due punti.

Distanza tra due punti formula retta A parentesi sinistra retta x con retta A pedice virgola retta spazio y con retta A pedice parentesi destra e retta B aperta parentesi retta x con retta B pedice virgola retta spazio y con retta B pedice spazio chiusa parentesi qualunque.

stile di inizio dimensione matematica 22px d diritto con pedice AB uguale alla radice quadrata della parentesi sinistra x diritto con pedice B diritto meno x diritto con pedice A diritto parentesi quadra destra più parentesi sinistra retta y con retta B pedice meno retta y con retta A pedice parentesi quadra destra fine della radice fine di stile

Coordinate del punto medio

Il punto medio è il punto che divide un segmento in due parti uguali.

Essendo M apre le parentesi x con M pedice virgola spazio y con M pedice chiude le parentesi il punto medio di un segmento pila A B con barra sopra , le sue coordinate sono le medie aritmetiche dell'ascissa e dell'ordinata.

inizio stile dimensione matematica 22px x con pedice M dritto uguale al numeratore x dritto con pedice B dritto più x dritto con pedice A dritto sopra denominatore 2 fine frazione fine stile e stile di inizio dimensione matematica 22px dritto y con M dritto pedice uguale al numeratore dritto y con dritto B pedice più dritto y con dritto A pedice sopra denominatore 2 fine della frazione fine dello stile

Condizione di allineamento a tre punti

Dati i punti: quadrato A apre parentesi quadrato x con lettera A pedice virgola spazio y con lettera A pedice chiude parentesi virgola spazio B apre parentesi quadre con B pedice spazio virgola diritta y con B diritta pedice chiude parentesi spazio spazio spazio diritta e spazio diritta spazio C parentesi sinistra diritta x con C diritta pedice virgola spazio diritta y con C diritta pedice parentesi Giusto .

Questi tre punti saranno allineati se il determinante della seguente matrice è uguale a zero.

stile di inizio dimensione matematica 22px spazio det parentesi quadre aperte riga della tabella con cella con x diritta con A diritta fine della cella cella con y diritta con A diritta fine della cella pedice 1 riga con cella con x diritto con pedice B dritto fine della cella cella con y dritto con pedice B dritto fine della cella 1 riga con cella con x retta con pedice C dritto fine cella cella con y dritto con pedice C dritto fine cella 1 fine tabella chiude parentesi quadre spazio uguale a spazio 0 fine stile

Esempio

Coefficiente angolare di una linea

la discesa dritto m di una retta è la tangente della sua pendenza alfa rispetto all'asse x.

inizio stile dimensione matematica 22px dritto m spazio uguale a spazio tg spazio dritto alfa fine dello stile

Per ottenere la pendenza da due punti:

stile di inizio dimensione matematica 22px dritto m uguale al numeratore dritto y con dritto B pedice meno dritto y con dritto A pedice sopra denominatore retta x con retta B pedice meno retta x con retta A pedice fine frazione fine di stile

Se m > 0, la linea è ascendente, altrimenti, se m < 0, la linea è discendente.

equazione generale della retta

In cui si Il,B e C sono numeri reali costanti e, Il e B non sono contemporaneamente nulli.

Esempio

Equazione della linea conoscendo un punto e la pendenza

dato un punto retta A apre le parentesi dritta x con 0 pedice virgola retta spazio y con 0 pedice chiude le parentesi e la pendenza dritto m .

L'equazione della retta sarà:

inizio stile dimensione matematica 22px diritta y meno diritta y con 0 pedice uguale a diritta m parentesi sinistra diritta x meno diritta x con 0 pedice parentesi destra fine dello stile

Esempio

Forma ridotta dell'equazione retta

inizio stile dimensione matematica 22px dritto y uguale a mx dritto n fine stile

In cui si:
m è la pendenza;
n è il coefficiente lineare.

no è ordinato dove la linea interseca l'asse y.

Esempio

Aspetto Equazione della linea.

Posizione relativa tra due rette parallele in un piano

Due linee distinte sono parallele quando le loro pendenze sono uguali.

se un dritto R ha pendenza m dritta con pedice r dritta , e un dritto S ha pendenza m dritto con pedice s dritto , questi sono paralleli quando:

inizio stile dimensione matematica 22px dritto m con r dritto pedice uguale a dritto m con dritto s pedice fine dello stile

Per questo, le tue inclinazioni devono essere uguali.

m con pedice s uguale a t g alfa spazio con pedice s spazio fine pedice m con pedice r uguale a t g alfa spazio con pedice r spazio fine pedice

Le tangenti sono uguali quando gli angoli sono uguali.

Posizione relativa tra due rette concorrenti in un piano

Due linee sono simultanee quando le loro pendenze sono diverse.

Errore durante la conversione da MathML a testo accessibile.

A loro volta, le pendenze differiscono quando i loro angoli di inclinazione rispetto all'asse x sono diversi.

alfa con pedice r diverso da alfa con pedice s

Linee perpendicolari

Due resti sono perpendicolari quando il prodotto delle loro pendenze è uguale a -1.

due rettilinei R e S, distinto, con pendenze m con r pedice e m con s sottoscritto , sono perpendicolari se e solo se:

inizia lo stile matematica dimensione 22px dritto m con dritto r pedice. dritto m con s pedice uguale a meno 1 fine dello stile

stile di inizio dimensione matematica 22px dritto m con pedice r dritto uguale a meno 1 su m dritto con pedice s dritto fine dello stile

Un altro modo per sapere se due rette sono perpendicolari è dalle loro equazioni in forma generale.

Le equazioni delle rette r e s essendo:

r due punti uno spazio con r pedice x più b con r pedice y più spazio c con r pedice spazio s due punti uno spazio con s pedice x più b con s pedice y più c con s pedice

Due rette ad essa perpendicolari quando:

inizia lo stile math size 22px dritto a con dritto r pedice. retta a con pedice s retto più retta b con pedice r retto. b dritto con pedice s diritto uguale a 0 fine stile

Aspetto Linee perpendicolari.

Circonferenza

La circonferenza è il luogo sul piano in cui tutti i punti P(x, y) sono alla stessa distanza R dal suo centro C(a, b), dove R è la misura di essere raggio.

Equazione della circonferenza in forma ridotta

inizia lo stile matematica dimensione 22px parentesi quadre aperte x meno dritte a parentesi quadre chiuse più parentesi aperta y meno retta b chiude parentesi quadra uguale a retta r fine quadra di stile

In cui si:
R è il raggio, la distanza tra qualsiasi punto dell'arco e il centro. C.
Il e B sono le coordinate del centro C.

equazione generale del cerchio

inizia lo stile matematica dimensione 22px dritto x al quadrato più dritto y al quadrato meno 2 ax meno 2 di più aperto parentesi dritta a al quadrato più retta b al quadrato meno retta r al quadrato chiude le parentesi uguali a 0 fine di stile

Si ottiene sviluppando i termini al quadrato dell'equazione ridotta della circonferenza.

È molto comune mostrare la forma generale dell'equazione della circonferenza negli esercizi, nota anche come forma normale.

conico

La parola conica deriva da un cono e si riferisce alle curve ottenute sezionandolo. Ellisse, iperbole e parabola sono curve chiamate coniche.

Ellisse

L'ellisse è una curva chiusa ottenuta sezionando un cono circolare rettilineo da un piano obliquo all'asse, che non passa per il vertice e non è parallelo alle sue generatrici.

In un piano, l'insieme di tutti i punti la cui somma delle distanze da due punti fissi interni è costante.

Elementi dell'ellisse:

F1 e F2 sono i fuochi dell'ellisse;
2c è la lunghezza focale dell'ellisse. È la distanza tra F1 e F2;
Il punto oh è il centro dell'ellisse. È il punto medio tra F1 e F2;
A1 e A2 sono i vertici dell'ellisse;
il segmento asse maggiore e uguale a 2a.
il segmento l'asse minore è uguale a 2b.
Eccentricità dove 0 < e < 1.

Equazione dell'ellisse ridotta

Consideriamo un punto P(x, y) contenuto nell'ellisse dove x è l'ascissa e y è l'ordinata di questo punto.

Centro dell'ellisse all'origine del sistema di coordinate e asse maggiore (AA) sull'asse x.

inizio stile dimensione matematica 22px dritto x al quadrato su dritto a al quadrato più dritto y al quadrato su dritto b al quadrato uguale a 1 fine dello stile

Centro dell'ellisse all'origine del sistema di coordinate e asse maggiore (AA) sull'asse y.

inizio stile dimensione matematica 22px dritto x al quadrato su dritto b al quadrato più dritto y al quadrato su dritto a al quadrato è uguale a 1 fine dello stile

Equazione ridotta dell'ellisse con assi paralleli agli assi coordinati

considerando un punto diritta parentesi sinistra diritta x con 0 pedice virgola spazio dritto y con 0 pedice parentesi destra come origine del sistema cartesiano e, un punto dritto C parentesi sinistra diritta x con 0 pedice virgola spazio dritto y con 0 pedice parentesi destra come centro dell'ellisse.

AA asse maggiore, parallelo all'asse x.

stile di inizio dimensione matematica 22px parentesi diritta x meno diritta x con 0 pedice parentesi di destra squadrata sopra diritta a ao quadrato più parentesi sinistra diritta y meno diritta y con 0 pedice parentesi destra quadrata su diritta b al quadrato uguale a 1 fine di stile

AA asse maggiore, parallelo all'asse y.

Iperbole

L'iperbole è un insieme di punti su un piano in cui la differenza tra due punti fissi F1 e F2 risulta in un valore costante positivo.

Elementi di iperbole:

F1 e F2 sono i fuochi dell'iperbole.
2c = è la lunghezza focale.
Il centro dell'iperbole è il punto Oh, Media del segmento F1F2.
A1 e A2 sono i vertici.
2a = A1A2 è l'asse reale o trasversale.
2b = B1B2 è l'asse immaginario o coniugato.
è l'eccentricità.

Attraverso il triangolo B1OA2

dritto c al quadrato è uguale a dritto a al quadrato più dritto b al quadrato

Equazione ridotta iperbole

Con asse reale attorno all'asse x e centro all'origine.
inizio stile dimensione matematica 22px dritto x al quadrato su dritto a al quadrato meno dritto y al quadrato su dritto b al quadrato uguale a 1 fine dello stile

Con asse reale sull'asse y e centro all'origine.

Equazione dell'iperbole con assi paralleli agli assi coordinati

AA asse reale parallelo all'asse x e al centro diritta C parentesi sinistra diritta x con 0 pedice virgola diritta y con 0 pedice parentesi destra .

Asse reale AA parallelo all'asse y e al centro diritta C parentesi sinistra diritta x con 0 pedice virgola diritta y con 0 pedice parentesi destra .

stile di inizio dimensione matematica 22px parentesi sinistra diritta y meno diritta y con 0 pedice parentesi destra squadrata sopra diritta a ao quadrato meno parentesi sinistra diritta x meno diritta x con 0 pedice parentesi destra al quadrato su diritta b al quadrato uguale a 1 fine di stile

parabola

La parabola è il luogo in cui l'insieme dei punti P(x, y) sono alla stessa distanza da un punto fisso F e da una retta d.

Elementi della parabola:

F è il fulcro della parabola;
d è la linea guida diritta;
L'asse di simmetria è la retta passante per il fuoco F e perpendicolare alla linea guida.
V è il vertice della parabola.
p è il segmento della stessa lunghezza tra fuoco F e vertice V e, tra vertice e direttiva d.