Bisettrice è una retta perpendicolare a un segmento di linea e passante per il punto medio di questo segmento.
Tutti i punti appartenenti alla bisettrice sono equidistanti dalle estremità di questo segmento.
Ricordando che, a differenza della linea, che è infinita, il segmento di linea è limitato da due punti su una linea. Cioè, è considerato una parte della linea.
Come costruire la bisettrice?
Possiamo costruire la bisettrice di una retta usando riga e compasso. Per fare ciò, segui questi passaggi:
- Disegna un segmento di linea e alle sue estremità segna il punto A e il punto B.
- Prendi una misura e fai un'apertura poco più grande della metà della lunghezza del segmento.
- Con questa apertura, posiziona l'estremità asciutta del compasso nel punto A e disegna un semicerchio. Rimanendo con la stessa apertura nella barra, fai la stessa cosa al punto B.
- I semicerchi tracciati si intersecavano in due punti, uno sopra il segmento di linea e uno sotto. Con il righello, unisci questi due punti, questa linea tracciata è la bisettrice del segmento AB.
Bisettrice di un triangolo
Le bisettrici di un triangolo sono linee perpendicolari tracciate attraverso il punto medio di ciascuno dei suoi lati. Quindi un triangolo ha 3 bisettrici.
Il punto di incontro di queste tre bisettrici si chiama circocentro. Questo punto, che è alla stessa distanza da ciascuno dei suoi vertici, è il centro del cerchio circoscritto nel triangolo.
Mediana, bisettrice e altezza di un triangolo
In un triangolo, oltre alle bisettrici, possiamo costruire le mediane, che sono segmenti di rette che passano anche per il punto medio dei lati.
La differenza è che mentre la bisettrice forma a angolo 90º con il lato, la mediana unisce il vertice al punto medio dei lati opposti, formando un angolo che può essere o meno di 90º.
Possiamo ancora tracciare altezze e bisettrici. Anche l'altezza è perpendicolare ai lati del triangolo, ma fa parte del suo vertice. A differenza della bisettrice, l'altezza non passa necessariamente per il punto medio del lato.
Partendo dal vertice, possiamo tracciare le bisettrici interne, che sono segmenti di rette che dividono gli angoli del triangolo in altri due angoli della stessa misura.
In un triangolo, possiamo disegnare tre mediane e si incontrano in un punto chiamato baricentro. Questo punto è chiamato baricentro di un triangolo.
Il baricentro divide le mediane in due parti, poiché la distanza dal punto al vertice è doppia della distanza dal punto al lato.
Mentre viene chiamato il punto di incontro delle altezze (o delle loro estensioni) ortocentro, è convocata la riunione delle bisettrici interne centro.
esercizi risolti
1) Epcar - 2016
Un terreno a forma di triangolo rettangolo sarà diviso in due lotti da una recinzione realizzata sulla bisettrice dell'ipotenusa, come mostrato in figura.
È noto che i lati AB e BC di questo terreno misurano rispettivamente 80 me 100 m. Quindi, il rapporto tra il perimetro del lotto I e il perimetro del lotto II, in quest'ordine, è
Per trovare il rapporto tra i perimetri è necessario conoscere la misura di tutti i lati del lotto I e del lotto II.
Tuttavia, non conosciamo le misure dei lati ,
e
di lotto I, né la misura di
del lotto II.
Per cominciare, possiamo trovare il valore della misura a lato , applicando il teorema di Pitagora, ovvero:
Potremmo anche trovare questo valore notando che abbiamo un multiplo del triangolo pitagorico 3, 4 e 5.
Quindi, se un lato misura 80 m (4. 20), l'altro misura 100 m (5. 20), quindi il terzo lato può misurare solo 60 m (3. 20).
Sappiamo che la recinzione è la bisettrice dell'ipotenusa, quindi divide questo lato in due parti uguali, formando un angolo di 90º con il lato. In questo modo, il triangolo PMB è un rettangolo.
Nota che i triangoli PMB e ACB sono simili, poiché hanno angoli con la stessa misura. chiamando il lato di x, abbiamo quel lato
sarà uguale a 80-x.
Pertanto, possiamo scrivere le seguenti proporzioni:
Dobbiamo ancora trovare la misura a lato . Per trovare questo valore, chiamiamo questo lato y. Per somiglianza dei triangoli, troviamo la seguente proporzione:
Ora che conosciamo la misura da tutti i lati, possiamo calcolare i perimetri dei lotti:
Prima di calcolare il perimetro del lotto II, rendersi conto che la misura di sarà uguale a
, cioè
. In questo modo il perimetro sarà:
Il rapporto tra i perimetri sarà quindi pari a:
Alternativa: d)
2) Enem - 2013
Negli ultimi anni la televisione ha subito una vera rivoluzione, in termini di qualità dell'immagine, del suono e dell'interattività con lo spettatore. Questa trasformazione è dovuta alla conversione del segnale analogico in segnale digitale. Tuttavia, molte città ancora non dispongono di questa nuova tecnologia. Cercando di portare questi benefici a tre città, una stazione televisiva intende costruire una nuova torre di trasmissione, che invia un segnale alle antenne A, B e C, che già esistono in queste città. Le posizioni delle antenne sono rappresentate nel piano cartesiano:
La torre deve essere posizionata in una posizione equidistante dalle tre antenne. Il luogo adatto per la costruzione di questa torre corrisponde al punto di coordinate
a) (65; 35).
b) (53; 30).
c) (45; 35).
d) (50; 20).
e) (50; 30).
Poiché vogliamo che la torre sia costruita in una posizione equidistante dalle tre antenne, deve essere posizionata in un punto appartenente alla bisettrice della linea AB, come rappresentato nell'immagine sottostante:
Dall'immagine, concludiamo che l'ascissa del punto sarà pari a 50. Ora dobbiamo trovare il valore dell'ordinata. Per questo, consideriamo che la distanza tra i punti AT e AC sono uguali:
Alternativa: e) (50; 30)
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