Due linee distinte che si trovano sullo stesso piano sono concorrenti quando hanno un solo punto in comune.
Le linee concorrenti formano tra loro 4 angoli e, secondo le misure di questi angoli, possono essere perpendicolari o oblique.
Quando i 4 angoli da loro formati sono uguali a 90º, sono chiamati perpendicolari.
Nella figura sotto le righe r e S sono perpendicolari.
Se gli angoli formati sono diversi da 90º, vengono chiamati concorrenti obliqui. Nella figura sottostante rappresentiamo le linee tu e v obliqui.
Linee concorrenti, coincidenti e parallele
Due linee che appartengono allo stesso piano possono essere concorrenti, coincidenti o parallele.
Mentre le rette concorrenti hanno un unico punto di intersezione, le rette coincidenti hanno almeno due punti in comune e il linee parallele non hanno punti in comune.
Posizione relativa di due scale
Conoscendo le equazioni di due rette possiamo verificarne le posizioni relative. Per questo dobbiamo risolvere il sistema formato dalle equazioni delle due rette. Quindi abbiamo:
- Linee concorrenti: il sistema è possibile e determinato (un unico punto in comune).
- Linee coincidenti: il sistema è possibile e determinato (infinito punto in comune).
- Linee parallele: il sistema è impossibile (nessun punto in comune).
Esempio:
Determinare la posizione relativa tra la linea r: x - 2y - 5 = 0 e la linea s: 2x - 4y - 2 = 0.
Soluzione:
Per trovare la posizione relativa tra le rette date, dobbiamo calcolare il sistema di equazioni formato dalle loro rette, quindi abbiamo:
Quando risolviamo il sistema per addizione troviamo la seguente equazione 0y = - 8, poiché non esiste una soluzione per questa equazione, è impossibile. In questo modo le due linee sono parallele.
Angoli opposti per Vertex
Due linee concorrenti formano due coppie di angoli. Questi angoli hanno un punto comune chiamato vertice.
Le coppie di angoli opposti al vertice sono congruenti, cioè hanno la stessa misura.
Nella figura sottostante, rappresentiamo gli angoli AÔB e CÔD opposti dal vertice, così come gli angoli AÔC e BÔD.
Punto di intersezione tra due rette concorrenti
Il punto di intersezione tra due rette concorrenti appartiene alle equazioni delle due rette. In questo modo possiamo trovare le coordinate di questo punto in comune, risolvendo il sistema formato dalle equazioni di queste rette.
Esempio:
Determinare le coordinate di un punto P comune alle rette r e S, le cui equazioni sono x + 3y + 4 = 0 e 2x - 5y - 2 = 0, rispettivamente.
Soluzione:
Per trovare le coordinate del punto, dobbiamo risolvere il sistema con le equazioni date. Quindi abbiamo:
Risolvendo il sistema abbiamo:
Sostituendo questo valore nella prima equazione troviamo:
Pertanto, le coordinate del punto di intersezione sono , cioè
.
Scopri di più leggendo anche:
- Linee perpendicolari
- dritto
- conico
Esercizi risolti
1) In un sistema di assi ortogonali, - 2x + y + 5 = 0 e 2x + 5y - 11 = 0 sono, rispettivamente, le equazioni delle rette r e s. Trova le coordinate del punto di intersezione di r e s.
P (3, 1)
2) Quali sono le coordinate dei vertici di un triangolo, sapendo che le equazioni delle linee di supporto dei suoi lati sono - x + 4y - 3 = 0, - 2x + y + 8 = 0 e 3x + 2y - 5 = 0 ?
A (3, - 2)
B (1, 1)
C (5, 2)
3) Determinare la posizione relativa delle rette r: 3x - y -10 = 0 e 2x + 5y - 1 = 0.
Le rette sono concorrenti, essendo il punto di intersezione (3, - 1).
