IL Progressione aritmetica (P.A.) è una sequenza di numeri in cui la differenza tra due termini consecutivi è sempre la stessa. Questa differenza costante è chiamata P.A.
Quindi, dal secondo elemento della sequenza in poi, i numeri che compaiono sono il risultato della somma della costante con il valore dell'elemento precedente.
Questo è ciò che lo differenzia dalla progressione geometrica (PG), perché in questa i numeri vengono moltiplicati per il rapporto, mentre nella progressione aritmetica vengono sommati.
Le progressioni aritmetiche possono avere un numero fisso di termini (P.A. finita) o un numero infinito di termini (P.A. infinita).
Per indicare che una sequenza continua all'infinito usiamo le ellissi, ad esempio:
- la sequenza (4, 7, 10, 13, 16, ...) è una P.A. infinita.
- la sequenza (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) è una P.A. finita.
Ogni termine di una P.A. è identificato dalla posizione che occupa nella sequenza e per rappresentare ogni termine si usa una lettera (solitamente la lettera Il) seguito da un numero che ne indica la posizione nella sequenza.
Ad esempio, il termine Il4 in P.A (2, 4, 6, 8, 10) è il numero 8, in quanto è il numero che occupa la 4° posizione nella sequenza.
Classificazione di una P.A.
In base al valore del rapporto, le progressioni aritmetiche sono classificate in:
- Costante: quando il rapporto è uguale a zero. Ad esempio: (4, 4, 4, 4, 4...), dove r = 0.
- In crescita: quando il rapporto è maggiore di zero. Ad esempio: (2, 4, 6, 8,10...), dove r = 2.
- discendente: quando il rapporto è minore di zero (15, 10, 5, 0, - 5,...), dove r = - 5
Proprietà PA
1a proprietà:
In una P.A. finita, la somma di due termini equidistanti dagli estremi è uguale alla somma degli estremi.
Esempio
2° immobile:
Considerando tre termini consecutivi di una P.A., il termine medio sarà uguale alla media aritmetica degli altri due termini.
Esempio
3a proprietà:
In una P.A. finita con numero dispari di termini, il termine centrale sarà uguale alla media aritmetica tra termini equidistanti da esso. Questa proprietà deriva dalla prima.
Formula del termine generale
Dove,
an: termine che vogliamo calcolare
a1: primo mandato di P.A.
n: posizione del termine che vogliamo scoprire
r: ragione
Spiegazione della formula
Poiché il rapporto di un P.A. è costante, possiamo calcolarne il valore da qualsiasi termine successivo, ovvero:
Pertanto, possiamo trovare il valore del secondo termine della P.A. facendo:
Per trovare il terzo termine utilizzeremo lo stesso calcolo:
Sostituendo il valore di a2, che abbiamo trovato in precedenza, abbiamo:
Se seguiamo lo stesso ragionamento, possiamo trovare:
Osservando i risultati trovati, notiamo che ogni termine sarà uguale alla somma del primo termine con il rapporto moltiplicato per la posizione precedente.
Questo calcolo si esprime attraverso la formula del termine generale di P.A., che permette di conoscere qualsiasi elemento di una progressione aritmetica.
Esempio
Calcola il decimo termine della P.A.: (26, 31, 36, 41, ...)
Soluzione
Innanzitutto, dobbiamo identificare che:
Il1 = 26
r = 31 - 26 = 5
n = 10 (10° termine).
Sostituendo questi valori nella formula del termine generale, abbiamo:
Ilno = il1 + (n - 1). r
Il10 = 26 + (10-1). 5
Il10 = 26 + 9 .5
Il10 = 71
Pertanto, il decimo termine della progressione aritmetica indicata è pari a 71.
Formula del termine generale da qualsiasi termine k
Spesso, per definire un qualsiasi termine generico, che chiamiamo an, non abbiamo il primo termine a1, ma conosciamo qualsiasi altro termine, che chiamiamo ak.
Possiamo usare la formula del termine generale da qualsiasi termine k:
Si noti che l'unica differenza era il passaggio dall'indice 1 nella prima formula a k nella seconda.
Essere,
an: l'n-esimo termine della P.A. (un termine in qualsiasi n posizione)
ak: il k-esimo termine di una P.A. (un termine in qualsiasi posizione k)
r: il motivo
Somma dei termini di una P.A.
Per trovare la somma dei termini di un P.A. finito basta usare la formula:
Dove,
Sno: somma dei primi n termini di P.A.
Il1: primo mandato P.A.
Ilno: occupa l'ennesima posizione nella sequenza (un termine in posizione n)
no: posizione a termine
Leggi anche su PA e PG.
Esercizio risolto
Esercizio 1
PUC/RJ - 2018
Sapendo che i numeri della sequenza (y, 7, z, 15) sono in progressione aritmetica, quanto vale la somma y + z?
a) 20
b) 14
c) 7
d) 3.5
e) 2
Per trovare il valore di z possiamo usare la proprietà che dice che quando abbiamo tre termini consecutivi il termine medio sarà uguale alla media aritmetica degli altri due. Quindi abbiamo:
Se z è uguale a 11, allora il rapporto sarà uguale a:
r = 11 - 7 = 4
In questo modo y sarà uguale a:
y = 7 - 4 = 3
Perciò:
y+z = 3 + 11 = 14
Alternativa: b) 14
Esercizio 2
IFRS - 2017
Nella figura sottostante abbiamo una sequenza di rettangoli, tutti di altezza a. La base del primo rettangolo è b ei rettangoli successivi è il valore di base del precedente più un'unità di misura. Quindi, la base del secondo rettangolo è b+1 e il terzo è b+2 e così via.
Considera le affermazioni seguenti.
I - La sequenza delle aree del rettangolo è una progressione aritmetica di rapporto 1.
II - La successione delle aree dei rettangoli è una progressione aritmetica di rapporto a.
III - La successione delle aree dei rettangoli è una progressione geometrica di rapporto a.
IV - L'area dell'ennesimo rettangolo (Ano) si ottiene con la formula Ano = un. (b + n - 1).
Controllare l'alternativa che contiene le affermazioni corrette.
Là.
b) II.
c) III.
d) II e IV.
e) III e IV.
Calcolando l'area dei rettangoli, abbiamo:
A = a. B
IL1 = un. (b + 1) = a. b + a
IL2 = un. (b + 2) = a. B. + 2°
IL3 = un. (b + 3) = a. b + 3a
Dalle espressioni trovate si nota che la sequenza forma una P.A. di rapporto pari a Il. Continuando la sequenza, troveremo l'area dell'ennesimo rettangolo, che è data da:
ILno= un. b + (n - 1) .a
ILno = un. b + a. a
mettendo il Il in evidenza abbiamo:
ILno = a (b + n - 1)
Alternativa: d) II e IV.
Esercizio 3
UERJ
Ammette lo svolgimento di un campionato di calcio in cui le diffide ricevute dagli atleti sono rappresentate solo da cartellini gialli. Queste carte vengono convertite in multe, secondo i seguenti criteri:
- Le prime due carte ricevute non generano multe;
- La terza carta genera una multa di R$ 500,00.
- Le seguenti carte generano multe i cui valori sono sempre aumentati di R$500,00 rispetto al valore della multa precedente.
Nella tabella sono riportate le sanzioni relative alle prime cinque carte applicate ad un atleta.
Considera un atleta che ha ricevuto 13 cartellini gialli durante il campionato. L'importo totale, in reais, delle multe generate da tutte queste carte è:
a) 30.000
b) 33 000
c) 36 000
d) 39 000
Risposta corretta: b) 33 000
Dal terzo cartellino giallo in poi, l'importo della multa aumenta in P.A. con un rapporto di R$ 500,00. Considerando il primo termine, a1, con il valore della terza carta, R$500,00.
Per determinare l'importo totale delle sanzioni dobbiamo utilizzare la formula della somma dei termini della P.A.
Poiché l'atleta ha 13 cartellini gialli, ma i primi due non generano multe, faremo una P.A. di 13-2 termini, cioè 11 termini.
Abbiamo quindi i seguenti valori:
a1 = 500
n = 11
r = 500
Per trovare il valore dell'ennesimo termine, a11, usiamo la formula del termine generale.
an = a1 + (n-1).r
a21 = 500 +(11-1) x 500
a21 = 500 + 10 x 500
a21 = 5500
Applicando la formula della somma dei termini di una P.A.
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Progressione aritmetica - Esercizi
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