La distanza tra due punti è la misura del segmento di linea che li unisce.
Possiamo calcolare questa misura usando la geometria analitica.
Distanza tra due punti sul piano
Nel piano, un punto è completamente determinato conoscendo una coppia ordinata (x, y) ad esso associata.
Per conoscere la distanza tra due punti, li rappresenteremo inizialmente nel piano cartesiano, quindi calcoliamo questa distanza.
Esempi:
1) Qual è la distanza tra il punto A (1.1) e il punto B (3.1)?
d (A, B) = 3 - 1 = 2
2) Qual è la distanza tra il punto A (4.1) e il punto B (1,3)?
Nota che la distanza tra il punto A e il punto B è uguale all'ipotenusa del triangolo rettangolo con i cateti 2 e 3.
Quindi, useremo il teorema di Pitagora per calcolare la distanza tra i punti dati.
[tamponare)]2 = 32 + 22 = √13
Formula della distanza tra due punti sul piano
Per trovare la formula della distanza, possiamo generalizzare il calcolo fatto nell'esempio 2.
Per due punti qualsiasi, come A(x1yy1) e B (x2sì2), noi abbiamo:
Per saperne di più leggi anche:
- geometria piana
- Piano cartesiano
- dritto
Distanza tra due punti nello spazio
Usiamo un sistema di coordinate tridimensionale per rappresentare i punti nello spazio.
Un punto è completamente determinato nello spazio quando ad esso è associata una tripla ordinata (x, y, z).
Per trovare la distanza tra due punti nello spazio, inizialmente possiamo rappresentarli nel sistema di coordinate e da lì eseguire i calcoli.
Esempio:
Qual è la distanza tra il punto A (3,1.0) e il punto B (1,2.0)?
In questo esempio, vediamo che i punti A e B appartengono al piano xy.
La distanza sarà data da:
[tamponare)]2 = 12 + 22 = √5
Formula della distanza tra due punti nello spazio
Per saperne di più leggi anche:
- Geometria spaziale
- Equazione della linea
- Formule matematiche
Esercizi risolti
1) Un punto A appartiene all'asse delle ascisse (asse x) ed è equidistante dai punti B (3.2) e C (-3.4). Quali sono le coordinate del punto A?
Poiché il punto A appartiene all'asse delle ascisse, la sua coordinata è (a, 0). Quindi dobbiamo trovare il valore di a.
(0 - 3)2 + (a - 2)2 = (0 + 3)2 + (a -4)2
9 + a2 - 4a +4 = 9 + a2 - 8° + 16°
4° = 12
a = 3
(3.0) sono le coordinate del punto A.
2) La distanza dal punto A (3,a) al punto B (0,2) è uguale a 3. Calcola il valore dell'ordinata a.
32 = (0 - 3)2 + (2 - un)2
9 = 9 + 4 - 4a +a2
Il2 - 4° +4 = 0
a = 2
3) ENEM - 2013
Negli ultimi anni la televisione ha subito una vera rivoluzione, in termini di qualità dell'immagine, del suono e dell'interattività con lo spettatore. Questa trasformazione è dovuta alla conversione del segnale analogico in segnale digitale. Tuttavia, molte città ancora non dispongono di questa nuova tecnologia. Cercando di portare questi benefici a tre città, una stazione televisiva intende costruire una nuova torre di trasmissione, che invia un segnale alle antenne A, B e C, che già esistono in queste città. Le posizioni delle antenne sono rappresentate nel piano cartesiano:
La torre deve essere posizionata in una posizione equidistante dalle tre antenne. Il luogo adatto per la costruzione di questa torre corrisponde al punto di coordinate
a) (65; 35)
b) (53; 30)
c) (45; 35)
d) (50; 20)
e) (50; 30)
Alternativa corretta e: (50;30)
Vedi anche: distanza tra due punti esercizi
4) ENEM - 2011
Un quartiere di una città è stato progettato in una regione pianeggiante, con strade parallele e perpendicolari, delimitando isolati della stessa dimensione. Nel seguente piano di coordinate cartesiane, questo intorno si trova nel secondo quadrante, e le distanze nel
gli assi sono espressi in chilometri.
La retta di equazione y = x + 4 rappresenta la pianificazione del percorso della linea metropolitana che attraverserà il quartiere e altre regioni della città.
Al punto P = (-5,5) si trova un ospedale pubblico. La comunità ha chiesto al comitato di pianificazione di progettare una stazione della metropolitana in modo che la sua distanza dall'ospedale, misurata in linea retta, non fosse superiore a 5 km.
In risposta alla richiesta della comunità, il comitato ha giustamente sostenuto che ciò sarebbe stato automaticamente soddisfatto, poiché la costruzione di una stazione sul punto era già prevista.
a) (-5.0)
b) (-3.1)
c) (-2.1)
d) (0,4)
e) (2.6)
Alternativa corretta b: (-3.1).
Vedi anche: esercizi di geometria analitica
