oh teorema di Pitagora elenca la lunghezza dei lati del triangolo rettangolo. Questa figura geometrica è formata da un angolo interno di 90°, detto angolo retto.
L'enunciato di questo teorema è:
"La somma dei quadrati delle tue gambe corrisponde al quadrato della tua ipotenusa."
Formula del teorema di Pitagora
Secondo l'enunciato del Teorema di Pitagora, la formula è rappresentata come segue:
Il2 = b2 + c2
Essere,
Il: ipotenusa
B: cateto
ç: cateto
IL ipotenusa è il lato più lungo di un triangolo rettangolo e il lato opposto all'angolo retto. Gli altri due lati sono le gambe. L'angolo formato da questi due lati ha una misura pari a 90º (angolo retto).
Abbiamo anche identificato le gambe, secondo un angolo di riferimento. Cioè, il lato può essere chiamato lato adiacente o lato opposto.
Quando la gamba è vicina all'angolo di riferimento, si chiama adiacente, d'altra parte, se è contro questo angolo, si chiama di fronte.
Di seguito sono riportati tre esempi di applicazioni del teorema di Pitagora alle relazioni metriche di un triangolo rettangolo.
Esempio 1: calcola la misura dell'ipotenusa
Se un triangolo rettangolo ha 3 cm e 4 cm come misure dei cateti, qual è l'ipotenusa di questo triangolo?
Pertanto, i lati del triangolo rettangolo sono 3 cm, 4 cm e 5 cm.
Esempio 2: calcola la misura di una delle gambe
Determina la misura di un cateto che fa parte di un triangolo rettangolo, la cui ipotenusa misura 20 cm e l'altro cateto misura 16 cm.
Pertanto, le misure dei lati del triangolo rettangolo sono 12 cm, 16 cm e 20 cm.
Esempio 3: controlla se un triangolo è un rettangolo
Un triangolo ha i lati di 5 cm, 12 cm e 13 cm. Come fai a sapere se è un triangolo rettangolo?
Per dimostrare che un triangolo rettangolo è vero le misure dei suoi lati devono obbedire al teorema di Pitagora.
Poiché le misure date soddisfano il teorema di Pitagora, cioè il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti, allora possiamo dire che il triangolo è un rettangolo.
Leggi anche: Relazioni metriche nel triangolo rettangolo
triangolo pitagorico
Quando misura i lati di a triangolo rettangolo sono numeri interi positivi, il triangolo è chiamato triangolo pitagorico.
In questo caso, le gambe e l'ipotenusa sono chiamate "vestito pitagorico" o "trio pitagorico". Per verificare se tre numeri formano un trio pitagorico, usiamo la relazione a2 = b2 + c2.
Il trio pitagorico più noto è rappresentato dai numeri: 3, 4, 5. Essendo l'ipotenusa uguale a 5, il cateto maggiore uguale a 4 e il cateto minore uguale a 3.
Nota che l'area dei quadrati disegnati su ciascun lato del triangolo sono correlati proprio come il Teorema di Pitagora: l'area del quadrato sul lato lungo corrisponde alla somma delle aree degli altri due piazza.
È interessante notare che i multipli di questi numeri formano anche un seme pitagorico. Ad esempio, se moltiplichiamo il trio 3, 4 e 5 per 3, otteniamo i numeri 9, 12 e 15 che formano anche un seme pitagorico.
Oltre ai semi 3, 4 e 5, ci sono una moltitudine di altri semi. A titolo di esempio possiamo citare:
- 5, 12 e 13
- 7, 24, 25
- 20, 21 e 29
- 12, 35 e 37
Leggi anche: Trigonometria nel triangolo rettangolo
Chi era Pitagora?
secondo la storia Pitagora di Samos (570 a.. - 495 a. C.) è stato un filosofo e matematico greco fondatore della Scuola Pitagorica, situata nell'Italia meridionale. Chiamata anche Società Pitagorica, comprendeva studi di matematica, astronomia e musica.
Sebbene le relazioni metriche del triangolo rettangolo fossero già note ai Babilonesi, vissuti molto prima di Pitagora, la prima prova che questo teorema applicato a qualsiasi triangolo rettangolo si crede sia stata fatta da Pitagora.
Il teorema di Pitagora è uno dei teoremi più conosciuti, importanti e utilizzati in matematica. È essenziale per risolvere problemi di geometria analitica, geometria piana, geometria spaziale e trigonometria.
Oltre al teorema, altri importanti contributi della Società Pitagorica per la Matematica furono:
- Scoperta dei numeri irrazionali;
- Proprietà degli interi;
- MMC e MDC.
Leggi anche: Formule matematiche
Dimostrazioni del teorema di Pitagora
Ci sono diversi modi per dimostrare il teorema di Pitagora. Ad esempio, il libro La proposta pitagorica, pubblicato nel 1927, presentava 230 modi per dimostrarlo e un'altra edizione, pubblicata nel 1940, aumentava a 370 dimostrazioni.
Guarda il video qui sotto e controlla alcune dimostrazioni del teorema di Pitagora.
Esercizi commentati sul teorema di Pitagora
domanda 1
(PUC) La somma dei quadrati dei tre lati di un triangolo rettangolo è 32. Quanto misura l'ipotenusa del triangolo?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
Alternativa corretta: b) 4.
Dalle informazioni contenute nella dichiarazione, sappiamo che il2 + b2 + c2 = 32. D'altra parte, per il teorema di Pitagora dobbiamo2 = b2 + c2 .
Sostituendo il valore di b2+c2 dal2 nella prima espressione troviamo:
Il2 + il2 =32 ⇒ 2. Il2 = 32 ⇒ in2 = 32/2 da ⇒ a2 = 16 ⇒ a = √ 16
a=4
Per ulteriori domande, vedere: Teorema di Pitagora - Esercizi
Domanda 2
(E nemmeno)
Nella figura sopra, che rappresenta il disegno di una scala con 5 gradini della stessa altezza, la lunghezza totale del corrimano è pari a:
a) 1,9 m
b) 2,1 m
c) 2,0 m
d) 1,8 m
e) 2,2 m
Alternativa corretta: b) 2.1m.
La lunghezza totale del corrimano sarà pari alla somma dei due tratti di lunghezza pari a 30 cm con il tratto di cui non conosciamo la misura.
Possiamo osservare dalla figura che la sezione incognita rappresenta l'ipotenusa di un triangolo rettangolo, la cui misura di uno dei cateti è pari a 90 cm.
Per trovare la misura dell'altra gamba, dobbiamo aggiungere la lunghezza dei 5 passi. Quindi abbiamo b = 5. 24 = 120 cm.
Per calcolare l'ipotenusa, applichiamo a questo triangolo il teorema di Pitagora.
Il2 = 902 + 1202 per2 = 8100 + 14 400 da ⇒ a2 = 22 500 a = √ 22 500 = 150 cm
Nota che avremmo potuto usare l'idea dei semi pitagorici per calcolare l'ipotenusa, poiché le gambe (90 e 120) sono multipli del seme 3, 4 e 5 (moltiplicando tutti i termini per 30).
In questo modo la misura totale del corrimano sarà:
30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m
Metti alla prova le tue conoscenze con Esercizi di trigonometria
Domanda 3
(UERJ) Millôr Fernandes, in un bellissimo omaggio alla Matematica, ha scritto una poesia dalla quale estraiamo il frammento qui sotto:
A tanti fogli di un libro di matematica,
un Quoziente si innamorò selvaggiamente un giorno
da uno sconosciuto.
La guardava con i suoi innumerevoli sguardi
e la vide dall'apice alla base: una strana figura;
occhi romboidali, bocca trapezoidale,
corpo rettangolare, seno sferoidale.
Ha reso la tua vita parallela alla sua,
fino a quando non si sono incontrati nell'Infinito.
"Tu chi sei?" - chiese con ansia radicale.
“Io sono la somma dei quadrati dei fianchi.
Ma puoi chiamarmi ipotenusa.”
(Millor Fernandes. Trent'anni di me stesso.)
Incognita ha sbagliato a dire chi fosse. Per soddisfare il teorema di Pitagora, si dovrebbe fare quanto segue
a) “Io sono il quadrato della somma delle gambe. Ma chiamami il quadrato dell'ipotenusa.
b) “Io sono la somma delle gambe. Ma puoi chiamarmi ipotenusa.»
c) “Io sono il quadrato della somma delle gambe. Ma puoi chiamarmi ipotenusa.»
d) “Io sono la somma dei quadrati delle gambe. Ma chiamami il quadrato dell'ipotenusa.
Alternativa d) “Io sono la somma dei quadrati delle gambe. Ma chiamami il quadrato dell'ipotenusa.
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- triangolo isoscele
- Seno, coseno e tangente
- Matematica in Enem
