L'equazione della retta può essere determinata tracciandola sul piano cartesiano (x, y). Conoscendo le coordinate di due punti distinti appartenenti alla retta possiamo determinarne l'equazione.
È anche possibile definire un'equazione della retta in base alla sua inclinazione e alle coordinate di un punto che le appartiene.
equazione generale della retta
Due punti definiscono una linea. In questo modo possiamo trovare l'equazione generale della retta allineando due punti con un punto generico (x, y) sulla retta.
Lascia che i punti A(xIlyyIl) e B(xByyB), non coincidente e appartenente al piano cartesiano.
Tre punti sono allineati quando il determinante della matrice associata a quei punti è uguale a zero. Quindi dobbiamo calcolare il determinante della seguente matrice:
Sviluppando il determinante troviamo la seguente equazione:
(sìIl -yB) x + (xB - XIl) y + xIlsìB - XBsìIl = 0
Chiamiamo:
a = (yIl -yB)
b = (xB - XIl)
c = xIlsìB - XBsìIl
L'equazione generale della retta è definita come:
ax + per + c = 0
Dove Il, B e ç sono costanti e Il e B non possono essere contemporaneamente nulli.
Esempio
Trova un'equazione generale della retta che passa per i punti A(-1, 8) e B(-5, -1).
Per prima cosa dobbiamo scrivere la condizione di allineamento a tre punti, definendo la matrice associata ai punti dati e un generico punto P(x, y) appartenente alla retta.
Sviluppando il determinante troviamo:
(8+1)x + (1-5)y + 40 + 1 = 0
L'equazione generale della retta passante per i punti A(-1,8) e B(-5,-1) è:
9x - 4a + 41 = 0
Per saperne di più leggi anche:
- Sede centrale
- determinante
- Teorema di Laplace
Equazione di linea ridotta
Coefficiente angolare
Possiamo trovare un'equazione della retta r conoscendo la sua inclinazione (direzione), cioè il valore dell'angolo che la retta presenta rispetto all'asse x.
Per questo associamo un numero m, che prende il nome di pendenza della retta, tale che:
m = tg θ
la discesa m si può trovare anche conoscendo due punti appartenenti alla retta.
Poiché m = tg θ, allora:
Esempio
Determinare la pendenza della retta r, che passa per i punti A(1,4) e B(2,3).
Essere,
X1 = 1 e y1 = 4
X2 = 2 e y2 = 3
Conoscere il coefficiente angolare della retta m e un punto P0(X0yy0) appartenente ad esso, possiamo definirne l'equazione.
Per questo, sostituiremo il punto noto P nella formula della pendenza.0 ed un generico punto P(x, y), anch'esso appartenente alla retta:
Esempio
Determinare un'equazione della retta che passa per il punto A(2,4) e ha pendenza 3.
Per trovare l'equazione della retta basta sostituire i valori dati:
y - 4 = 3 (x - 2)
y - 4 = 3x - 6
-3x + y + 2 = 0
coefficiente lineare
il coefficiente lineare no dritto r è definito come il punto in cui la linea interseca l'asse y, cioè il punto di coordinate P(0,n).
Usando questo punto, abbiamo:
y - n = m (x - 0)
y = mx + n (equazione della linea ridotta).
Esempio
Sapendo che l'equazione della retta r è data da y = x + 5, individua la sua pendenza, la sua pendenza e il punto in cui la retta interseca l'asse y.
Poiché abbiamo l'equazione ridotta della retta, allora:
m = 1
Dove m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
Il punto di intersezione della linea con l'asse y è il punto P(0,n), dove n=5, quindi il punto sarà P(0,5)
Leggi anche tu Calcolo della pendenza
Equazione del segmento di linea
Possiamo calcolare la pendenza utilizzando il punto A(a, 0) che la linea interseca l'asse x e il punto B(0,b) che interseca l'asse y:
Considerando n = b e sostituendo in forma ridotta, si ha:
Dividendo tutti i membri per ab, troviamo l'equazione segmentaria della retta:
Esempio
Scrivi, in forma segmentaria, l'equazione della retta che passa per il punto A(5.0) e ha pendenza 2.
Per prima cosa troviamo il punto B(0,b), sostituendo nell'espressione della pendenza:
Sostituendo i valori nell'equazione, abbiamo l'equazione segmentaria della linea:
Leggi anche su:
- Piano cartesiano
- Distanza tra due punti
- conico
- dritto
- Linee parallele
- Linee perpendicolari
- Segmento
- Funzione lineare
- Funzione affine
- Esercizi sulle funzioni correlate
Esercizi risolti
1) Data la retta che ha l'equazione 2x + 4y = 9, determinarne la pendenza.
4y = - 2x + 9
y = - 2/4 x + 9/4
y = - 1/2 x + 9/4
Quindi m = - 1/2
2) Scrivi l'equazione della retta 3x + 9y - 36 = 0 in forma ridotta.
y = -1/3 x + 4
3) ENEM - 2016
Per una fiera della scienza, vengono costruiti due proiettili a razzo, A e B, da lanciare. Il piano è che vengano lanciati insieme, con l'obiettivo di intercettare il proiettile B quando raggiunge la sua massima altezza. Perché ciò accada, uno dei proiettili descriverà una traiettoria parabolica, mentre l'altro descriverà una traiettoria apparentemente diritta. Il grafico mostra le altezze raggiunte da questi proiettili in funzione del tempo, nelle simulazioni effettuate.
Sulla base di queste simulazioni, è stato osservato che la traiettoria del proiettile B dovrebbe essere modificata in modo che il
obiettivo è stato raggiunto.
Per raggiungere la meta, il coefficiente angolare della retta che rappresenta la traiettoria di B deve
a) diminuire di 2 unità.
b) diminuire di 4 unità.
c) aumento di 2 unità.
d) aumento di 4 unità.
e) aumento di 8 unità.
Per prima cosa dobbiamo trovare il valore iniziale della pendenza della retta B.
Ricordando che m = tg Ɵ, abbiamo:
m1 = 12/6 = 2
Per passare per il punto di massima altezza della traiettoria di A, la pendenza della linea B deve avere il seguente valore:
m2 = 16/4 = 4
Pertanto, la pendenza della linea B dovrà cambiare da 2 a 4, quindi aumenterà di 2 unità.
Alternativa c: aumentare di 2 unità
Vedi anche: Esercizi di Geometria Analitica
