oh massimo comun divisore, meglio noto comeMDC, è il numero più grande che dividere due o più numeri. Trovare il MDC aiuta a risolvere alcune situazioni problematiche nella nostra vita quotidiana. Per calcolarlo possiamo scrivere l'elenco dei divisori di ciascuno dei numeri e confrontare oppure possiamo usare il metodo di scomposizione di questi numeri in fattori primi, noto anche come decomposizione simultanea.
Leggi anche: Moltiplicazione e divisione di numeri negativi
Come calcolare l'MDC?
Il massimo comun divisore tra due o più numeri, come suggerisce il nome, è il massimo divisore che divide simultaneamente questi numeri. Per calcolare l'MDC, è abbastanza comune utilizzare il fattorizzazione, il che rende il processo più semplice, ma possiamo semplicemente confrontare i divisori dei numeri coinvolti.
Metodo di confronto
Esempio
Trova l'MDC di 18 e 12.
Per confronto, scriviamo i 18 divisori e i 12 divisori.
D(18) = {1,2,3,6,9,18}
D(12)= {1,2,3,4,6,12}
Ci sono dei divisori comuni, che sono i numeri {1,2,3,6}. Il MDC è il più grande.
MDC (12.18) = 6
Si scopre che scrivere i divisori di numeri può essere un compito molto laborioso, quindi un'alternativa è usare la scomposizione in fattori. cugini.
Esempio
Trova l'MDC tra 45 e 36.
1° passo: scomponi ciascuno dei numeri.
2° passo: conoscendo le fattorizzazioni, troviamo ciascuno dei fattori comuni di questi numeri.
36 = 2 · 2 · 3 · 3
45 = 3 · 3 · 5
3° passo: determinano il MDC, che è il prodotto (moltiplicazione) dei fattori che hanno in comune.
MDC (36, 45) = 3 · 3
MDC (36, 45) = 9
Ciò significa che il numero più grande che è un divisore di 36 e 45 contemporaneamente è 9.
decomposizione simultanea
oh il modo più veloce per trovare l'MDC tra due numeri è la decomposizione simultanea, nota anche come factoring simultaneo. A differenza di quanto fatto nella scomposizione precedente, scomporremo contemporaneamente i numeri per i quali vogliamo calcolare l'MDC.
Esempio
Calcola il MDC di (48, 84).
1° passo: eseguire la scomposizione di entrambi i numeri e trovare contemporaneamente i fattori che li dividono.
2° passo: eseguire la moltiplicazione tra i fattori in comune.
MDC (48,84) = 2 · 2 · 3 = 12
Vedi anche: Factoring simultaneo per trovare MDC e MMC
Proprietà MDC
Nel calcolo dell'MDC, ci sono alcuni casi in cui non è necessario eseguire la scomposizione, perché se conosciamo la proprietà, sappiamo già qual è l'MDC.
→ 1a proprietà
Il MDC tra due numeri consecutivi è sempre uguale a 1.
Esempio
MDC (102, 103) = 1
Quando ciò accade, diciamo che i numeri sono primi tra loro perché non hanno fattori in comune.
→ 2a proprietà
Quando abbiamo due o più numeri e uno di essi è un divisore degli altri, allora sarà il MDC.
Esempio
MDC (4.12.16 )
Sappiamo che 4 è un divisore di 12 e 16, quindi:
MDC(4,12,16) = 4
Differenza tra MDC e MMC
Entrambi sono ugualmente importanti, ma rappresentano cose diverse. Il massimo comun divisore, come abbiamo visto, è il numero più grande che divide contemporaneamente due o più numeri. L'MMC è il minimo comune multiplo, questo è il numero più piccolo che è multiplo contemporaneamente dei numeri che vogliamo calcolare.
In sintesi, in MDC, stiamo lavorando con il divisori comuni e vogliamo trovare il più grande loro. In MMC, stiamo lavorando con il multipli in comune e vogliamo trovare il più piccolo loro.
Esempio
Dati i numeri 16 e 12, trova l'MDC tra di essi.
Risoluzione:
Elenchiamo i 16 divisori e i 12 divisori.
D(16) = 1,2,4,8,16
D(12) = 1,2,3,4,6.12
Ora troviamo il numero più grande che divide entrambi contemporaneamente:
MDC (16.12) = 4
Ciò significa che 4 è il numero più grande che divide 16 e 12 contemporaneamente.
Esempio 2
Dati i numeri 16 e 12, trova tra di essi l'MMC.
Risoluzione:
Elenchiamo i multipli di 16 e 12 fino a trovarne uno comune a entrambi.
M(12) = {0, 12, 24, 36, 48...}
M(16) = {0, 16, 32, 48 …}
MMC (12.16) = 48
Ciò significa che 48 è il numero più piccolo che è un multiplo di 12 e 16 contemporaneamente.
Esercizirisolto
Domanda 1 - Qual è il MDC tra i numeri (15,16,17)?
a) 10
b) 5
c) 2
d) 1
e) 15
Risoluzione
Alternativa D. Poiché stiamo lavorando con tre numeri consecutivi, sappiamo che il MDC tra di loro è sempre uguale a 1.
Domanda 2 - In un gioco per due o più persone, ci sono 36 pezzi triangolari e 60 pezzi quadrati. Sapendo che, per poter giocare a questo gioco, i pezzi devono essere equamente distribuiti e nessuno di essi può essere lasciato, qual è il numero massimo di partecipanti possibili al gioco?
a) 12
b) 9
c) 8
d) 6
e) 4
Risoluzione
Alternativa A.
Vogliamo trovare l'MDC tra 36 e 60.
Fattorizzando 36 e 60, dobbiamo:
36 = 2 · 2 · 3 · 3
60 = 2 · 2 · 3 · 5
MDC (36,60) 2 · 2 · 3 = 12
