Condizione di allineamento a tre punti

Quando tre punti appartengono allo stesso dritto, sono chiamati punti allineati.

Nella figura sottostante, i punti $\dpi{120} \mathrm{A}(x_1,y_1)$ , $\dpi{120} \mathrm{B}(x_2,y_2)$ e $\dpi{120} \mathrm{C}(x_3,y_3)$ sono punti allineati.

Condizione di allineamento a tre punti

Se i punti A, B e C sono allineati, i triangoli ABD e BCE sono triangoli simili, quindi, hanno lati proporzionali.

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}}$

Così il condizione di allineamento a tre punti $\dpi{120} \mathrm{A}(x_1,y_1)$ , $\dpi{120} \mathrm{B}(x_2,y_2)$ e $\dpi{120} \mathrm{C}(x_3,y_3)$ any, è che sia soddisfatta la seguente uguaglianza:

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}}$

Esempi:

Verifica che i punti siano allineati:

a) (2, -1), (6, 1) e (8, 2)

Calcoliamo il primo lato dell'uguaglianza:

$\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{6 -2}{8-6} = \frac{4}{2}=2$

Calcoliamo il secondo lato dell'uguaglianza:

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$\dpi{120} \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2} = \frac{1-(-1)}{2-1} = \frac{2}{1}=2$