Cos'è il logaritmo?

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Logaritmo è definita come un'operazione contraria a potenziamento o esponenziale.

Nel potenziamento, conosciamo la base e l'esponente e vogliamo calcolare una potenza. Nel logaritmo conosciamo la base e la potenza e vogliamo conoscere il valore dell'esponente.

Quindi, renditi conto che il logaritmo non è il radicamento, poiché in quest'ultimo cerchiamo il valore base data la potenza.

Esempio: A cosa dovrebbe servire il valore dell'esponente x

\dpi{120} \mathrm{5^x = 25}?

Lo sappiamo \dpi{120} 5^2 = 25, allora l'esponente x deve essere uguale a 2.

Quindi possiamo dire che il logaritmo di 25 in base 5 è uguale a 2:

\dpi{120} \mathrm{log\, _5\, 25} = 2

Vedi sotto per una definizione formale di logaritmo.

Definizione di logaritmo:

Dati due numeri positivi, Il e B, con \dpi{120} \mathrm{a\neq 1}, diciamo che il logaritmo di B alla base Il è uguale numero X se e solo se, Il elevato a X è lo stesso di B, questo è:

\dpi{150} \mathbf{\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b}

Su cosa:

  • Il: base
  • B: logaritmo
  • X: logaritmo

Esempio: Calcola il valore di \dpi{120} \mathrm{x} in ogni caso.

Il) \dpi{120} \mathrm{\log_9 81 = x}

Per definizione dobbiamo:

\dpi{120} \mathrm{9^x = 81}

Piace \dpi{120} 9^2 = 81, poi, \dpi{120} \mathrm{x= 2}. Così:

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\dpi{120} \mathrm{\log_9 81 = 2}

B) \dpi{120} \mathrm{\log_2 8 = x}

Per definizione dobbiamo:

\dpi{120} \mathrm{2^x = 8}

Piace \dpi{120} 2^3 = 8, poi, \dpi{120} \mathrm{x= 3}. Così:

\dpi{120} \mathrm{\log_2 8 = 3}

Proprietà del logaritmo

Dalla definizione di logaritmo si hanno i seguenti risultati immediati:

1)\dpi{120} \mathrm{log_a1 ​​​​= 0}

2)\dpi{120} \mathrm{log_aa = 1}

3)\dpi{120} \mathrm{log_aa^c = c}

4) b = c ⇒ \dpi{120} \mathrm{log_ab = log_ac}

5)\dpi{120} \mathrm{a^{log_ab} = b}

E il proprietà del logaritmo sono:

1)\dpi{120} \mathrm{log_a (b\cdot c) = log_ab + log_ac}

2)\dpi{120} \mathrm{log_a\bigg(\frac{b}{c} \bigg) = log_ab - log_ac}

3)\dpi{120} \mathrm{log_ab^c = c\cdot log_ab}

4)\dpi{120} \mathrm{log_ab = \frac{log_cb}{log_ca}}

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