Cos'è il logaritmo?

Logaritmo è definita come un'operazione contraria a potenziamento o esponenziale.

Nel potenziamento, conosciamo la base e l'esponente e vogliamo calcolare una potenza. Nel logaritmo conosciamo la base e la potenza e vogliamo conoscere il valore dell'esponente.

Quindi, renditi conto che il logaritmo non è il radicamento, poiché in quest'ultimo cerchiamo il valore base data la potenza.

Esempio: A cosa dovrebbe servire il valore dell'esponente x

$\dpi{120} \mathrm{5^x = 25}?$

Lo sappiamo $\dpi{120} 5^2 = 25$ , allora l'esponente x deve essere uguale a 2.

Quindi possiamo dire che il logaritmo di 25 in base 5 è uguale a 2:

$\dpi{120} \mathrm{log\, _5\, 25} = 2$

Vedi sotto per una definizione formale di logaritmo.

Definizione di logaritmo:

Dati due numeri positivi, Il e B, con $\dpi{120} \mathrm{a\neq 1}$ , diciamo che il logaritmo di B alla base Il è uguale numero X se e solo se, Il elevato a X è lo stesso di B, questo è:

$\dpi{150} \mathbf{\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b}$

Su cosa:

Il: base
B: logaritmo
X: logaritmo

Esempio: Calcola il valore di $\dpi{120} \mathrm{x}$ in ogni caso.

Il) $\dpi{120} \mathrm{\log_9 81 = x}$

Per definizione dobbiamo:

$\dpi{120} \mathrm{9^x = 81}$

Piace $\dpi{120} 9^2 = 81$ , poi, $\dpi{120} \mathrm{x= 2}$ . Così:

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$\dpi{120} \mathrm{\log_9 81 = 2}$

B) $\dpi{120} \mathrm{\log_2 8 = x}$

Per definizione dobbiamo:

$\dpi{120} \mathrm{2^x = 8}$

Piace $\dpi{120} 2^3 = 8$ , poi, $\dpi{120} \mathrm{x= 3}$ . Così:

$\dpi{120} \mathrm{\log_2 8 = 3}$

Proprietà del logaritmo

Dalla definizione di logaritmo si hanno i seguenti risultati immediati:

1) $\dpi{120} \mathrm{log_a1 = 0}$

2) $\dpi{120} \mathrm{log_aa = 1}$

3) $\dpi{120} \mathrm{log_aa^c = c}$

4) b = c ⇒ $\dpi{120} \mathrm{log_ab = log_ac}$

5) $\dpi{120} \mathrm{a^{log_ab} = b}$

E il proprietà del logaritmo sono:

1) $\dpi{120} \mathrm{log_a (b\cdot c) = log_ab + log_ac}$

2) $\dpi{120} \mathrm{log_a\bigg(\frac{b}{c} \bigg) = log_ab - log_ac}$

3) $\dpi{120} \mathrm{log_ab^c = c\cdot log_ab}$

4) $\dpi{120} \mathrm{log_ab = \frac{log_cb}{log_ca}}$

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