A funzioni trigonometrichesono le funzioni seno, coseno e tangente. Tutte le funzioni trigonometriche mettono in relazione il valore di angolo in gradi o radianti con il valore del rapporto trigonometrico, relazione che si può fare attraverso lo studio del ciclo trigonometrico. Con lo studio individuale di ciascuna delle funzioni trigonometriche è possibile effettuare la rappresentazione grafico, studia il segno della funzione per ciascuno dei quadranti, tra le altre caratteristiche importante.
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Cosa sono le funzioni trigonometriche?
Le funzioni trigonometriche più comuni sono la funzione seno, la funzione coseno e la funzione tangente. Il loro studio è legato al ciclo trigonometrico.
Per ogni valore dell'angolo, c'è un singolo valore di seno e coseno. Le funzioni trigonometriche non sono altro che il relazione tra l'angolo e il valore del rapporto trigonometrico per quell'angolo. Ricorda che il valore di questo angolo può essere espresso in radianti o gradi e che il valore di seno e coseno è sempre un
numero reale tra -1 e 1.
Nota nell'immagine che, per ogni angolo, il coseno e il seno ammettonom un valore. Si basa sullo studio di ciascuna delle funzioni trigonometriche che osserviamo la relazione tra il valore dell'angolo e il valore del rapporto trigonometrico.
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funzione coseno
La funzione coseno è la funzione f: R → R, la cui legge di formazione è f(x) = cos(x). Poiché il coseno di un angolo è sempre un numero compreso tra 1 e -1, quindi -1 ≤ cos (x) ≤ 1.
Dominio
Il dominio della funzione coseno è il insieme di numeri reali, perché non c'è alcuna restrizione sul valore di x, dove x è l'angolo in radianti. Per ogni numero reale, puoi trovare il valore di cos(x), quindi Df= UN.
Immagine
Sappiamo che il controdominio della funzione coseno è l'insieme dei numeri reali, tuttavia, quando analizziamo l'immagine della funzione, è possibile vedere che è sempre un valore maggiore o uguale a -1 e minore o uguale a 1, poiché il ciclo trigonometrico ha raggio 1, quindi il valore più grande che la funzione coseno può assumere è 1 e, allo stesso modo, il valore più piccolo che può assumere è -1. Io = [-1, 1]
Grafico della funzione coseno
Il grafico della funzione coseno ècontenuto nel mezzo i rettilineiy = -1 e y = 1. Ricorda che questo accade perché l'immagine della funzione è sempre un numero compreso tra -1 e 1 e ha una parte crescente e una parte decrescente, come possiamo vedere di seguito:
Abbinando il valore dell'angolo con il valore del rapporto trigonometrico, puoi vedere che la grafica ha un comportamento ciclico, ovvero il comportamento si ripete sempre periodicamente. Il grafico della funzione coseno è noto come coseno.
Segnale
Sappiamo che, nel ciclo trigonometrico, il il coseno ha valori positivinel I e IV quadrante. Il primo quadrante è compreso tra 0º e 90º e il quarto quadrante è compreso tra 270º e 360º. In radianti, la funzione è positiva per valori di x compresi tra 0 e π/2 e tra 3π/2 e 2π.
La funzione coseno ha valori negativinel II e III quadrante, ovvero l'angolo è compreso tra 90º e 270º. In radianti, affinché la funzione coseno sia negativa, x è compreso tra π/2 e 3π/2.
Periodo della funzione coseno
Il grafico della funzione coseno ha a 2π periodo. Analizzando si può notare che il grafico è contenuto nel range da 0 a 2π. Per i valori prima o dopo questo intervallo, il grafico si ripete.
Parità
La funzione coseno è considerata a funzione pari, poiché c'è simmetria nel grafico rispetto all'asse y. Quando una funzione è considerata pari, dobbiamo f (x) = f (-x), ovvero cos (x) = cos (-x).
Archi notevoli della funzione coseno
Diamo un'occhiata al valore del coseno per gli angoli principali:
Vedi anche: Secante, cosecante e cotangente - rapporti trigonometrici inversi di seno, coseno e tangente
funzione seno
La funzione coseno è la funzione f: R → R, la cui legge di formazione è f(x) = peccato(x). Come il seno di un angolo, proprio come il coseno, è sempre un numero compreso tra 1 e -1, quindi -1 ≤ sin (x) ≤ 1.
Dominio
Il dominio della funzione seno è l'insieme dei numeri reali. La funzione f(x) = sin (x) è definito per tutti i numeri reali, quindi Df= UN.
Immagine
L'immagine della funzione seno ha valore massimo in f(x) = 1 e valore minimo quandof(x) = -1. Quindi l'immagine della funzione è l'intervallo reale [-1, 1].
grafico della funzione seno
Il grafico della funzione seno è anche limitato dalle linee orizzontali y = -1 e y = 1. Il comportamento è simile a quello della funzione seno periodica, avendo intervalli crescenti e intervalli decrescenti. Vedere la rappresentazione grafica della funzione seno nel piano cartesiano di seguito:
Anche il grafico della funzione seno è periodico ed è noto come seno.
Segnale
A differenza della funzione coseno, la funzione seno ha valori positivi inS quadranteS I e II primo, cioè per angoli compresi tra 0° e 180°. In radianti, la funzione è positiva per valori compresi tra 0 e π.
La funzione seno ha valori negativiin IIio e IV quadranteS, ovvero l'angolo è compreso tra 180º e 360º. In radianti, affinché la funzione seno sia negativa, x è compreso tra e 2π.
Periodo della funzione coseno
Il grafico della funzione seno ha a periodo di 2π. Ciò significa che, dopo o prima dell'intervallo da 0 a 2π, il grafico è periodico, cioè si ripete.
Parità
La funzione seno è considerata a occupazione sonopaio, in quanto vi è simmetria nel grafico rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Quando una funzione è considerata dispari, dobbiamo f (x) = -f (x), cioè sin (-x) = -sin (x).
Archi notevoli della funzione seno
Diamo un'occhiata al valore del seno per gli angoli principali:
Funzione tangente
Lo sappiamo la tangente è la Motivo tra seno e coseno. A differenza delle due precedenti funzioni trigonometriche, la funzione tangente non ha né un valore massimo né un valore minimo. Inoltre, ci sono restrizioni per il dominio, ma la legge di formazione della funzione tangente è f(x) = abbronzatura (x).
Dominio
La funzione tangente ha delle restrizioni per il suo dominio, in quanto è formata dal rapporto tra il seno e il coseno, non ci sono valori per la tangente quando cos (x) = 0. Pesando nel ciclo trigonometrico da 0º a 360º, la funzione tangente non è definita per gli angoli 90º e 270º, in quanto questi sono i valori in cui il coseno è uguale a 0. Quando ci sono angoli maggiori di un giro completo, tutti quelli in cui il valore del coseno è 0 non fanno parte del dominio della funzione coseno.
Immagine
A differenza della funzione seno e della funzione coseno, l'immagine della funzione tangente è l'insieme dei numeri reali, cioè non è limitato e non ha un valore massimo o minimo. Im = R
Grafico della funzione tangente
Anche la funzione tangente è periodica come le funzioni seno e coseno, cioè è sempre ripetuta. Quando confrontiamo:
Segnale
la funzione tangente ha un valore positivo per i quadranti dispari, cioè io e III quadranti. Per angoli compresi tra 0º e 90º e angoli compresi tra 180º e 270º, la funzione ha valori positivi. In radianti, il valore di x deve essere compreso tra 0 e π/2 o π e 3π/2.
L'andamento del tempo
Anche il periodo della funzione tangente è diverso dalle funzioni seno e coseno. oh il periodo della funzione tangente è π.
Parità
la funzione tangente é una funzione strana, perché tan(-x) = -tan (x), quindi c'è simmetria nel grafico rispetto all'origine del piano cartesiano.
Archi notevoli della funzione tangente
Diamo un'occhiata al valore della tangente per gli angoli principali:
Vedi anche: Come trovare seno e coseno degli angoli supplementari?
esercizi risolti
Domanda 1 - (Enem 2017) I raggi del sole stanno raggiungendo la superficie di un lago, formando un angolo x con la sua superficie, come mostrato in figura.
In determinate condizioni si può presumere che l'intensità luminosa di questi raggi, sulla superficie del lago, essere data approssimativamente da I(x) = k · sin(x), essendo k una costante, e assumendo che X sia compreso tra 0° e 90º.
Quando x = 30º, l'intensità luminosa si riduce a quale percentuale del suo valore massimo?
R) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%
Risoluzione
Alternativa B
Nell'intervallo da 0º a 90º, la funzione seno ha il suo valore più alto quando x = 90º, quindi abbiamo:
i = k · peccato (90º)
io = k · 1
io = k
Ora, quando x = 30º, dobbiamo:
i = k · senza (30°)
io = k · 1/2
io = k/2
Notare che l'intensità i è stata ridotta della metà, ovvero del 50%.
Domanda 2 - (Enem 2015) Secondo l'Istituto Brasiliano di Geografia e Statistica (IBGE), i prodotti stagionali sono quelli che presentano cicli ben definiti di produzione, consumo e prezzo. In breve, ci sono periodi dell'anno in cui la sua disponibilità nei mercati al dettaglio è scarsa, con prezzi alti, a volte è abbondante, con prezzi più bassi, che si verifica nel mese di massima produzione del raccolto. Da una serie storica si è osservato che il prezzo P, in reais, del chilogrammo di un determinato prodotto stagionale può essere descritto dalla funzione:
Dove x rappresenta il mese dell'anno, dove x = 1 associato al mese di gennaio, x = 2, al mese di febbraio, e così via, fino a x = 12, associato al mese di dicembre.
Nella vendemmia, il mese di massima produzione di questo prodotto è
R) Gennaio.
B) Aprile.
C) giugno.
D) luglio.
E) ottobre.
Risoluzione
Alternativa D
Il raccolto ammette la produzione massima quando il prezzo è il più basso, sappiamo che la funzione coseno assume il suo valore minimo quando cos(x) = -1.
L'angolo che ha un valore cos di -1 è l'angolo π. Quindi l'argomento dell'angolo deve essere uguale a, quindi dobbiamo:
Il mese 7 è il mese di luglio.
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
