Quando studiamo i poliedri, ci imbattiamo nella I solidi di Platone come un caso particolare. Per essere un solido di Platone, il poliedro deve soddisfare tre condizioni:
essere convesso;
tutte le facce hanno la stessa quantità di bordi;
tutti i vertici sono estremità dello stesso numero di bordi.
Diversi filosofi cercarono di capire l'origine dell'Universo e Platone lo vide in geometria spaziale la spiegazione di questa origine. I solidi di Platone sono:
tetraedro;
esaedro;
ottaedro;
dodecaedro;
icosaedro.
Tutti loro sono considerati poligoni regolari, come loro i bordi e le loro facce sono tutti congruenti. I solidi di Platone rispettano la La relazione di Eulero, che elenca il numero di vertici, facce e spigoli con la formula V + F = A + 2.
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poliedri regolari
La ricerca di poliedri regolari è ricorrente, poiché sono più facili da lavorare. Un poliedro è classificato come regolare se ha tutte le facce formate dallo stesso poligono congruente. Quando ciò si verifica, il angoli e anche i bordi sono congruenti.
I solidi di Platone sono casi particolari di poliedri regolari. Il cubo, per esempio, che è un solido di Platone, ha tutte le sue facce formate da quadrati congruenti. Dei Cinque Solidi Di Platone, tre sono formate da facce triangolari con triangoli congruenti, una è formata da facce quadrate e l'altra è formata da facce pentagonali.
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Cosa sono i solidi di Platone?
Platone è stato un filosofo e matematico greco. Ha dato grandi contributi alla matematica e, nel tentativo di comprendere l'Universo, solidi associati con elementi della natura.
Per essere un solido platonico, il poliedro deve essere regolare e convesso. Ci sono solo cinque solidi che soddisfano questa definizione. Essi sono: il tetraedro, il cubo o esaedro, l'ottaedro, l'icosaedro e il dodecaedro.
La relazione che si instaurava tra l'elemento della natura e il solido era:
tetraedro - fuoco
esaedro - Terra
ottaedro - aria
icosaedro - Acqua
dodecaedro – Cosmo o Universo
Per essere un solido Platone, oh poliedro deve anche essere convesso, tutte le facce devono avere lo stesso numero di spigoli e tutti i vertici devono essere estremità dello stesso numero di spigoli.
Vedi anche: Ciottoli - solidi geometrici formati da facce piane e poligonali
tetraedro regolare
Il tetraedro regolare è un poliedro che ha 4 facce, che ne giustifica il nome (tetra = quattro). tutte le tue facce sono formato da triangoli. Ha la forma di un piramide di base triangolare ed è nota come piramide di base regolare, poiché tutte le sue facce sono congruenti. Ha un totale di 4 facce (nel formato di triangolo equilatero), 4 vertici e 6 spigoli.
Se vuoi costruire il tuo tetraedro regolare, scarica e stampa il PDF qui.
Cubo regolare o esaedro
l'esaedro regolare ha 6 facce, che ne giustifica il nome (hex = sei). le tue facce sono tutte piazza. È anche conosciuto come cubo e ha 6 facce, 12 spigoli e 8 vertici.
Se vuoi costruire il tuo cubo, scarica e stampa il PDF qui.
Ottaedro
Come i precedenti, il nome è legato al numero di facce, da qui l'ottaedro ha 8 facce. Queste facce hanno forma triangolo equilatero. L'ottaedro ha 8 facce, 12 spigoli e 6 vertici.
Se vuoi costruire il tuo ottaedro, scarica e stampa il PDF qui.
icosaedro
L'icosaedro ha un totale di 20 facce. Le loro facce hanno la forma di triangoli equilateri, proprio come l'ottaedro. Ha un totale di 20 facce, 30 bordi e 12 vertici.
Se vuoi costruire il tuo icosaedro, scarica e stampa il PDF qui.
dodecaedro
Il dodecaedro è l'ultimo dei solidi di Platone. Ha un totale di 12 facce ed è considerato il più armonico tra i cinque solidi platonici. Le loro facce hanno la forma di pentagoni. È dotato di 12 facce, 30 bordi e 20 vertici.
Se vuoi costruire il tuo dodecaedro, scarica e stampa il PDF qui.
Accedi anche a: Cilindro - solido geometrico formato da due facce circolari parallele e su piani diversi
La formula di Eulero
I poliedri euleriani sono poliedri convessi. Eulero ha sviluppato una formula che mette in relazione il numero di facce (F), il numero di vertici (V) e il numero di spigoli (A) in un poliedro convesso. Tutti i solidi di Platone soddisfano la relazione di Eulero.
V + F = LA + 2 |
Analizzando la formula, è quindi possibile calcolare il numero di vertici dal numero di facce e bordi, o il numero di facce dal numero di vertici e bordi, in breve, conoscendo due dei suoi elementi, è sempre possibile trovare il terzo.
Esempio:
Sapendo che un poliedro ha 8 vertici e 12 spigoli e che è regolare, quante facce ha?
Sappiamo che V + F = A+2
V = 8
A = 12
8 + FA = 12 + 2
8 + FA = 14
F = 14 - 8
F = 6
esercizi risolti
Domanda 1 - (Enem 2016) I solidi di Platone sono poliedri convessi le cui facce sono tutte congruenti ad un singolo poligono regolare, tutti i vertici hanno lo stesso numero di archi incidenti e ogni arco è condiviso solo da due. facce. Sono importanti, ad esempio, nella classificazione delle forme dei cristalli minerali e nello sviluppo di vari oggetti. Come tutti i poliedri convessi, i solidi di Platone rispettano la relazione di Eulero V - A + F = 2, dove V, A e F sono rispettivamente il numero di vertici, bordi e facce del poliedro.
In un cristallo, la cui forma è quella di un poliedro triangolare di Platone, qual è la relazione tra il numero di vertici e il numero di facce?
A) 2V - 4F = 4
B) 2V - 2F = 4
C) 2V - F = 4
D) 2V + F = 4
E) 2V + 5F = 4
Risoluzione
Alternativa C. Poiché le facce sono triangolari, sappiamo che per ogni faccia ci sono 3 spigoli. Tuttavia, per mettere in relazione il numero di spigoli con il numero di facce, è importante ricordare che ogni spigolo è contenuto su due facce, perché l'incontro di due facce forma un bordo, quindi possiamo mettere in relazione bordo a faccia in questo caso per:
Avendo la relazione di Eulero come V - A + F = 2 e sostituendo A, dobbiamo:
Domanda 2 - Dalle alternative sottostanti, giudica quale non è un solido di Platone.
A) Cubo
B) Tetraedro regolare
C) Icosaedro
D) Dodecaedro
E) Cono
Risoluzione:
Alternativa E. Tra le alternative, l'unica che non corrisponde a un solido di Platone è la cono.
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
