Esercizi di equazioni biquadrate

Risposta: La somma delle radici reali è zero.

Consideriamo il x alla potenza di 4 come aprire parentesi x al quadrato chiudere parentesi al quadrato e riscriviamo l'equazione come:

apre parentesi quadre x al quadrato chiude parentesi quadre meno 2 al quadrato x al quadrato meno 3 è uguale a 0

Noi facciamo x al quadrato è uguale a y e sostituiamo nell'equazione.

y al quadrato meno 2 diritto y meno 3 è uguale a 0

Ripieghiamo su un'equazione quadratica con parametri:

a = 1
b = -2
c = -3

Il discriminante dell'equazione è:

incremento pari a b al quadrato meno 4. Il. c incremento è uguale a parentesi aperte meno 2 chiude parentesi quadre meno 4,1. parentesi sinistra meno 3 parentesi destra incremento uguale a 4 spazio più spazio 12 incremento uguale a 16

Le radici sono:

y con 1 pedice è uguale al numeratore meno b più o meno incremento della radice quadrata sul denominatore 2. la fine della frazione è uguale al numeratore meno la parentesi sinistra meno 2 la parentesi destra più la radice quadrata di 16 sul denominatore 2.1 la fine della frazione è uguale al numeratore 2 più 4 su denominatore 2 fine della frazione uguale a 6 su 2 uguale a 3 y con 2 pedice uguale a numeratore meno b più o meno radice quadrata incremento su denominatore 2. fine della frazione è uguale al numeratore meno parentesi sinistra meno 2 parentesi destra meno radice quadrata di 16 sopra denominatore 2.1 fine di frazione uguale al numeratore 2 meno 4 sopra denominatore 2 fine della frazione uguale al numeratore meno 2 sopra denominatore 2 fine della frazione uguale a meno 1

y1 e y2 sono le radici dell'equazione quadratica, ma stiamo trovando le radici dell'equazione biquadrata di 4° grado.

Usiamo la relazione x al quadrato è uguale a y per trovare le radici dell'equazione biquadrato per ogni valore y trovato.

Per y1 = 3

x al quadrato è uguale a y x al quadrato è uguale a 3 x è uguale a più o meno radice quadrata di 3 x è uguale a meno radice quadrata di 3 spazio e x spazio è uguale a radice quadrata di 3 sono vere radici.

Per y2 = -1

x al quadrato è uguale a y x al quadrato è uguale a meno 1 x è uguale alla radice quadrata di meno 1 estremità della radice

Poiché non esiste una soluzione nell'insieme dei numeri reali per la radice quadrata di un numero negativo, le radici sono complesse.

Quindi la somma delle radici reali è:

spazio meno radice quadrata di 3 spazio più spazio radice quadrata di 3 spazio uguale a 0

Risposta esatta: S è uguale a parentesi aperte meno 3 virgola 3 parentesi graffe chiuse

Per prima cosa dobbiamo manipolare l'equazione per posizionare x al quadrato sullo stesso membro dell'uguaglianza.

x al quadrato la parentesi a sinistra x al quadrato meno 18 la parentesi a destra è uguale a negativo 81

Facendo il distributivo e passando l'81 a sinistra:

x alla potenza di 4 meno 18 x al quadrato più 81 è uguale a 0 spazio tra parentesi a sinistra e quale spazio I tra parentesi a destra

Abbiamo un'equazione biquadrata, cioè due volte al quadrato. Per risolvere, utilizziamo una variabile ausiliaria, facendo:

x al quadrato è uguale a y spazio parentesi a sinistra e q u a tion spazio I I parentesi a destra

Consideriamo il x alla potenza di 4 nell'equazione I e riscrivila come aprire parentesi x al quadrato chiudere parentesi al quadrato . Quindi, l'equazione I diventa:

instagram story viewer

apre parentesi x al quadrato chiude parentesi al quadrato meno 18 x al quadrato più 81 è uguale a 0 spazio parentesi a sinistra e quale spazio I parentesi a destra

Usiamo il dispositivo dell'equazione II, sostituendo nell'equazione I, x al quadrato per .

y al quadrato meno 18 y più 81 è uguale a 0 spazio

Dato che abbiamo un'equazione quadratica, risolviamola usando Bhaskara.

I parametri sono:

a = 1
b = -18
c = 81

Il delta è:

incremento pari a b al quadrato meno 4. Il. c l'incremento è uguale alla parentesi sinistra meno 18 la parentesi destra al quadrato meno 4.1.81 l'incremento è uguale a 324 spazio meno spazio 324 l'incremento è uguale a 0

Le due radici saranno uguali a:

y con 1 pedice è uguale a y con 2 pedice è uguale al numeratore meno b più o meno incremento della radice quadrata sul denominatore 2. fine della frazione è uguale al numeratore meno parentesi sinistra meno 18 spazio della parentesi destra più o meno radice quadrata di 0 sul denominatore 2.1 fine della frazione è uguale a 18 più di 2 è uguale a 9

Una volta determinate le radici y1 e y2, le sostituiamo nell'equazione II:

x al quadrato è uguale a 9 x è uguale a più o meno radice quadrata di 9 x è uguale a 3 spazio e x spazio è uguale a 3

Pertanto, l'insieme di soluzioni dell'equazione è:

S è uguale a parentesi aperte meno 3 virgola 3 parentesi graffe chiuse

Risposta: S è uguale a parentesi graffa sinistra meno radice quadrata di 5 virgola meno radice quadrata di 3 virgola spazio radice quadrata di 3 virgola spazio radice quadrata di 5 parentesi graffa destra

Spostando il 15 sul lato sinistro:

x alla potenza di 4 spazio meno spazio 8 x spazio al quadrato più 15 è uguale a 0

factoring x alla potenza di 4 come aprire parentesi x al quadrato chiudere parentesi al quadrato :

apre parentesi x al quadrato chiude parentesi al quadrato meno spazio 8 x al quadrato più 15 è uguale a 0

Facendo x al quadrato è uguale a y e sostituendo nell'equazione:

y al quadrato meno spazio 8 y più 15 è uguale a 0

Nell'equazione polinomiale del secondo grado della variabile y, i parametri sono:

a = 1
b = -8
c = 15

Usando Bhaskara per determinare le radici:

incremento pari a b al quadrato meno 4. Il. c l'incremento è uguale a parentesi aperte meno 8 chiudi parentesi al quadrato meno 4.1.15 l'incremento è uguale a 64 meno 60 l'incremento è uguale a 4

x con 1 pedice è uguale al numeratore meno b più o meno incremento della radice quadrata sul denominatore 2. la fine della frazione è uguale al numeratore meno la parentesi sinistra meno 8 la parentesi destra più la radice quadrata di 4 sul denominatore 2.1 la fine della frazione è uguale al numeratore 8 più 2 su denominatore 2 fine della frazione uguale a 10 su 2 uguale a 5 x con 2 pedice uguale a numeratore meno b più o meno incremento della radice quadrata sul denominatore 2. alla fine della frazione è uguale al numeratore meno parentesi sinistra meno 8 parentesi destra meno radice quadrata di 4 sopra denominatore 2.1 fine della frazione uguale al numeratore 8 meno 2 sopra denominatore 2 fine della frazione uguale a 6 maggiore di 2 uguale 3

L'equazione che stiamo risolvendo è il biquadrato, con variabile y, quindi dobbiamo tornare con i valori per y.

Sostituzione nella relazione x al quadrato è uguale a y :

Per la radice x1=5
y è uguale a x al quadrato 5 è uguale a x al quadrato x è uguale a più o meno radice quadrata di 5 x è uguale a radice quadrata di 5 spazio e spazio x è uguale a meno radice quadrata di 5

Per la radice x2 = 3
y è uguale a x al quadrato 3 è uguale a x al quadrato x è uguale a più o meno radice quadrata di 3 x è uguale a radice quadrata di 3 spazio e spazio x è uguale a meno radice quadrata di 3

Quindi, il set di soluzioni è: S è uguale a parentesi graffa sinistra meno radice quadrata di 5 virgola meno radice quadrata di 3 virgola spazio radice quadrata di 3 virgola spazio radice quadrata di 5 parentesi graffa destra .

Risposta: Il prodotto delle radici reali dell'equazione è -4.

factoring x alla potenza di 4 per aprire parentesi x al quadrato chiudere parentesi al quadrato e riscrivendo l'equazione biquadratica:

apre parentesi x al quadrato chiude parentesi al quadrato più 2 x al quadrato – 24 è uguale a 0

Facendo x al quadrato è uguale a y e sostituendo nell'equazione, abbiamo un'equazione del secondo grado di parametri:

a = 1
b = 2
c = -24

Il delta è:

incremento pari a b al quadrato meno 4. Il. c l'incremento è uguale a 2 al quadrato meno 4,1. meno 24 l'incremento è uguale a 4 più 96 l'incremento è uguale a 100

Le radici sono:

L'equazione biquadratica è nella variabile x, quindi dobbiamo tornare indietro attraverso la relazione x al quadrato è uguale a y .

Per y1 = 4

x al quadrato è uguale a y x al quadrato è uguale a 4 x è uguale a più o meno radice quadrata di 4 x è uguale a 2 spazio e x spazio è uguale a negativo 2

Per y2 = -6

x al quadrato è uguale a y x al quadrato è uguale a negativo 6 x è uguale alla radice quadrata di negativo 6 estremità della radice

Poiché non esiste una vera soluzione alla radice quadrata di un numero negativo, le radici saranno complesse.

Il prodotto delle vere radici sarà:

2 spazio segno di moltiplicazione spazio parentesi sinistra meno 2 spazio parentesi destra uguale spazio meno 4

Risposta: Le radici dell'equazione sono: -3, -1, 1 e 3.

Facendo il distributivo e portando il -81 sul lato sinistro:

9 x parentesi a sinistra x al cubo meno 10 x parentesi a destra lo spazio è uguale a spazio meno 81 9 x alla potenza di 4 meno 90 x al quadrato più 81 è uguale a 0

Per semplicità, possiamo dividere entrambi i membri per 9:

numeratore 9 x alla potenza di 4 sul denominatore 9 fine della frazione meno numeratore 90 x al quadrato denominatore 9 fine della frazione più 81 su 9 uguale a 0 su 9 x alla potenza di 4 meno 10 x al quadrato più 9 uguale a 0

Dato che otteniamo un'equazione biquadrata, riduciamola a un'equazione quadratica, facendo x al quadrato è uguale a y .

L'equazione è:

y al quadrato meno 10 y spazio più spazio 9 spazio è uguale a 0

I parametri sono:

a = 1
b = -10
c = 9

Il delta sarà:

incremento pari a b al quadrato meno 4. Il. c l'incremento è uguale alla parentesi sinistra meno 10 la parentesi destra al quadrato meno 4.1.9 l'incremento è uguale a 100 spazio meno spazio 36 l'incremento è uguale a 64

Le radici sono:

Tornando a x, facciamo:

Per la radice y1 = 9
x al quadrato è uguale a 9 x è uguale a più o meno radice quadrata di 9 x è uguale a 3 spazio e x spazio è uguale a 3

Per la radice y2 = 1

x al quadrato è uguale a 1 x è uguale a più o meno radice quadrata di 1 x è uguale a 1 spazio e x spazio è uguale a meno 1

Quindi le radici dell'equazione sono: -3, -1, 1 e 3.

Risposta corretta: d) 6

scomporre il x alla potenza di 4 per aprire parentesi x al quadrato chiudere parentesi al quadrato e riscrivendo la disuguaglianza:

spazio apre parentesi x al quadrato chiude parentesi al quadrato - spazio 20 x al quadrato spazio più spazio 64 spazio minore o uguale allo spazio 0

Facendo x al quadrato è uguale a y e sostituendo nella disuguaglianza precedente:

y al quadrato – spazio 20 y spazio più spazio 64 spazio minore o uguale allo spazio 0

Risolvere la disuguaglianza dei parametri:

a = 1
b = -20
c = 64

Calcolo del delta:

incremento pari a b al quadrato meno 4. Il. c incremento è uguale a parentesi aperta meno 20 parentesi chiusa al quadrato meno 4.1.64 incremento è uguale a 400 spazio meno spazio 256 incremento è uguale a 144

Le radici saranno:

y con 1 pedice è uguale al numeratore meno b spazio più spazio radice quadrata dell'incremento rispetto al denominatore 2. la fine della frazione è uguale al numeratore meno parentesi sinistra meno 20 parentesi destra spazio più spazio radice quadrata di 144 sul denominatore 2 spazio. spazio 1 fine della frazione è uguale al numeratore 20 spazio più spazio 12 sul denominatore 2 fine della frazione è uguale a 32 su 2 è uguale a 16 y con 2 pedice è uguale a numeratore meno b spazio meno spazio radice quadrata incremento sul denominatore 2. la fine della frazione è uguale al numeratore meno parentesi sinistra meno 20 parentesi destra spazio meno spazio radice quadrata di 144 sul denominatore 2 spazio. spazio 1 fine della frazione uguale al numeratore 20 spazio meno spazio 12 sopra denominatore 2 fine della frazione uguale a 8 sopra 2 uguale a 4

Sostituendo le radici y1 e y2 nella relazione tra x e y:

Per la radice y1 = 16

x al quadrato è uguale a 16 x è uguale a più o meno radice quadrata di 16 x è uguale a 4 spazio e x spazio è uguale a meno 4

Per la radice y2 = 4

x al quadrato è uguale a 4 x è uguale a più o meno radice quadrata di 4 x è uguale a 2 spazio e x spazio è uguale a negativo 2

Analizzando gli intervalli che soddisfano la condizione: x alla potenza di 4 spazio – spazio 20 x al quadrato spazio più spazio 64 spazio minore o uguale allo spazio 0

[ -4; -2] e [2; 4]

Pertanto, considerando solo gli interi che compongono gli intervalli:

-4, -3, -2 e 2, 3, 4

Sei numeri interi soddisfano la disuguaglianza.

Risposta corretta: a) S è uguale a parentesi aperte meno radice quadrata di 3 virgola spazio meno 1 virgola spazio 1 virgola spazio radice quadrata di 3 parentesi graffe chiuse .

factoring y alla potenza di 4 per aprire parentesi y al quadrato chiudere parentesi al quadrato e riscrivendo l'equazione:

2 apre le parentesi y al quadrato chiude le parentesi al quadrato spazio meno spazio 8 y al quadrato spazio più spazio 6 spazio uguale spazio 0

Facendo x è uguale a y al quadrato e sostituendo nell'equazione precedente:

2 x spazio al quadrato meno spazio 8 x spazio più spazio 6 spazio uguale spazio 0

Ripieghiamo su un'equazione del secondo grado di parametri:

a = 2
b = -8
c = 6

Calcolo del delta:

incremento pari a b al quadrato meno 4. Il. c l'incremento è uguale a parentesi aperte meno 8 chiude le parentesi quadre meno 4.2.6 l'incremento è uguale a 64 spazio meno spazio 48 l'incremento è uguale a 16

Le radici sono:

x con 1 pedice è uguale al numeratore meno b più incremento della radice quadrata sul denominatore 2. la fine della frazione è uguale al numeratore meno la parentesi sinistra meno 8 la parentesi destra più la radice quadrata di 16 sul denominatore 2.2 la fine della frazione è uguale al numeratore 8 più 4 sul denominatore 4 fine della frazione uguale a 12 su 4 uguale a 3 x con 2 pedice uguale al numeratore meno b più incremento della radice quadrata sul denominatore 2. la fine della frazione è uguale al numeratore meno parentesi sinistra meno 8 parentesi destra meno radice quadrata di 16 sopra denominatore 2.2 fine della frazione uguale al numeratore 8 meno 4 sopra denominatore 4 fine della frazione uguale a 4 sopra 4 uguale 1

Sostituendo le radici dell'equazione quadratica x1 e x2 nell'equazione relativa a x e y:

Per x = 3 abbiamo:

y al quadrato è uguale a 3 y è uguale a più o meno radice quadrata di 3 y è uguale a radice quadrata di 3 spazio e spazio meno radice quadrata di 3

Per x = 1, abbiamo:

y al quadrato è uguale a 1 y è uguale a più o meno radice quadrata di 1 y è uguale a 1 spazio e spazio meno 1

Quindi, il set di soluzioni è:

S è uguale a parentesi aperte meno radice quadrata di 3 virgola spazio meno 1 virgola spazio 1 virgola spazio radice quadrata di 3 parentesi graffe chiuse

Risposta esatta: b spazio tra parentesi a destra 3 radice quadrata dello spazio 2 estremità dello spazio radice .

factoring x alla potenza di 4 uguale a aprire parentesi x al quadrato chiudere parentesi al quadrato e riscrivendo l'equazione:

apre parentesi x al quadrato chiude parentesi al quadrato spazio meno spazio 11 x al quadrato spazio più spazio 18 spazio uguale spazio 0

Facendo x al quadrato è uguale a y e riscrivendo l'equazione:

y al quadrato meno 11 y spazio più spazio 18 spazio uguale a spazio 0

Nell'equazione quadratica i parametri sono;

a= 1
b= -11
c = 18

Il delta è:

incremento pari a b al quadrato meno 4. Il. c incremento è uguale a parentesi aperte meno 11 chiude parentesi quadre meno 4 spazio.1 spazio.18 incremento uguale a 121 spazio meno spazio 72 incremento uguale a 49

Ora dobbiamo sostituire i valori delle radici dell'equazione quadratica y1 e y2 nella relazione x al quadrato è uguale a y .

Per y1 = 9
x al quadrato è uguale a y x al quadrato è uguale a 9 x è uguale a più o meno radice quadrata di 9 x è uguale a 3 spazio e x spazio è uguale a 3

Per y2 = 2

x al quadrato è uguale a y x al quadrato è uguale a 2 x è uguale a più o meno radice quadrata di 2 x è uguale a radice quadrata di 2 spazio e spazio x è uguale a meno radice quadrata di 2

Pertanto, il prodotto delle radici positive sarà:

3 spazio segno di moltiplicazione radice quadrata di 2 è uguale a 3 radice quadrata di 2

Esercizi di equazioni biquadrate

Sistema di disuguaglianza di 1° grado

Disequazione del prodotto e disequazione del quoziente

Equazione di 2° grado: come si calcola, tipologie, esercizi