La relazione di Eulero è un'uguaglianza che mette in relazione il numero di vertici, spigoli e facce nei poliedri convessi. Dice che il numero di facce più il numero di vertici è uguale al numero di spigoli più due.
La relazione di Eulero è data da:
In cui si,
F è il numero di facce,
V il numero di vertici,
IL il numero di bordi.
Possiamo usare la relazione di Eulero per determinare o confermare valori sconosciuti di V, F o A, ogni volta che il poliedro è convesso.
| Poliedro | F | V | IL | F+V | A+2 |
|---|---|---|---|---|---|
| Cubo | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| piramide triangolare | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| Prisma a base pentagonale | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| ottaedro regolare | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
Esempio
Un poliedro convesso ha 20 facce e 12 vertici. Determina il numero di spigoli.
Usando la relazione di Eulero e isolando A:
Sostituendo i valori di F e V:
Facce, Vertici e Bordi
I poliedri sono forme geometriche solide e tridimensionali senza lati arrotondati. Questi lati sono le facce (F) del poliedro.
L'incontro delle facce, chiamiamo spigoli (A).
I vertici sono i punti in cui si incontrano tre o più spigoli.
poliedri convessi
I poliedri convessi sono solidi geometrici che non presentano concavità, quindi su nessuna delle loro facce ci sono angoli interni maggiori di 180º.
In questo poliedro, l'angolo interno segnato in blu ha più di 180º, quindi non è un poliedro convesso.
Vedi di più su poliedri.
Esercizi sulla relazione di Eulero
Esercizio 1
Trova il numero di facce in un poliedro con 9 spigoli e 6 vertici.
Risposta corretta: 5 facce.
Usando la relazione di Eulero:
F + V = LA + 2
F = LA + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11 - 6
F = 5
Esercizio 2
Un dodecaedro è un solido platonico con 12 facce. Sapendo che ha 20 vertici, determina il suo numero di spigoli.
Risposta esatta:
Usando la relazione di Eulero:
F + V = LA + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = A
32 - 2 = A
30 = A
Esercizio 3
Qual è il nome del poliedro con 4 vertici e 6 spigoli in relazione al suo numero di facce, dove le facce sono triangoli?
Risposta: tetraedro.
Dobbiamo determinare il suo numero di facce.
F + V = LA + 2
F = LA + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8 - 4
F = 4
Un poliedro che ha 4 facce a forma di triangoli è chiamato tetraedro.
Chi era Leonhard Paul Euler?
Leonhard Paul Euler (1707-1783) è stato uno dei matematici e fisici più abili della storia, oltre a contribuire agli studi di astronomia. Svizzero di lingua tedesca, fu professore di fisica all'Accademia delle scienze di San Pietroburgo e successivamente all'Accademia di Berlino. Ha pubblicato diversi studi sulla matematica.
Impara anche:
- Solidi geometrici
- Geometria spaziale
- Forme geometriche
- Prisma - Figura geometrica
- Piramide
- Pietra per lastricati
- Cubo
