Sappiamo come ripetere l'arrangiamento o completare l'arrangiamento, tutti i raggruppamenti ordinati con cui possiamo formare K elementi di un insieme con no elementi, con un elemento di no può apparire più di una volta. IL analisi combinatoria è l'area della matematica che sviluppa tecniche di conteggio per trovare il numero di possibili cluster in determinate situazioni.
Tra questi raggruppamenti vi è l'arrangiamento con ripetizione, presente, ad esempio, nel creazione di password, targhe, tra gli altri. Per risolvere queste situazioni, applichiamo la formula di arrangiamento con ripetizione come tecnica di conteggio. Esistono diverse formule per calcolare la disposizione ripetuta e la disposizione non ripetitiva, quindi è importante sapere come differenziare ciascuna di queste situazioni al fine di applicare la tecnica di conteggio corretta.
Leggi anche: Principio fondamentale del conteggio - concetto principale di analisi combinatoria
Che cos'è l'arrangiamento con la ripetizione?
![C'è un accordo con la ripetizione nella produzione di targhe per veicoli. [1]](/f/46a11aed3d571c029896ad4272473301.jpg)
Nella nostra vita quotidiana, ci imbattiamo in situazioni che coinvolgono sequenze e raggruppamenti, che appaiono nel scegliere le password dai social network o dalla banca, e anche in numeri di telefono o situazioni che coinvolgono code. Ad ogni modo, siamo circondati da situazioni che coinvolgono questi raggruppamenti.
Ad esempio, sulle targhe, che sono composte da tre lettere e quattro numeri, c'è un stringa univoca per stato che identifica ciascuna delle auto, in questo caso, stiamo lavorando disposizioni. Quando è possibile ripetere gli elementi, stiamo lavorando con l'arrangiamento completo o con l'arrangiamento con ripetizione.
Dato un insieme con no elementi, che conosciamo come arrangiamento con ripetizione tutti i raggruppamenti con cui possiamo formare K elementi di questo impostato, dove un elemento può essere ripetuto più di una volta. Sulle targhe automobilistiche, ad esempio, è il numero di possibili targhe che possiamo formare, prendendo tenendo conto che hanno tre lettere e quattro numeri e che le lettere ei numeri possono essere ripetuti.
Per calcolare il numero di possibili disposizioni ripetute, usiamo una formula molto semplice.
Formula di arrangiamento con ripetizione
Per trovare l'intero importo della disposizione di no elementi distinti presi da K nel
Oh, in una data situazione che consente la ripetizione di un elemento, utilizziamo la seguente formula:
ARIAno,K = noK
AR → arrangiamento con ripetizione
no → numero di elementi nell'insieme
K → numero di elementi che verranno scelti
Vedi anche: Combinazione semplice: conta tutti i sottoinsiemi di un dato insieme
Come calcolare il numero di arrangiamento ripetuto
Per capire meglio come applicare la formula di disposizione delle ripetizioni, vedere l'esempio seguente.
Esempio 1:
Una password bancaria ha cinque cifre composte esclusivamente da numeri, qual è il numero di possibili password?
Sappiamo che la password è una stringa di cinque cifre e che non ci sono restrizioni sulle ripetizioni, quindi applicheremo la formula di disposizione con ripetizione. L'utente deve scegliere, tra 10 cifre, quale comporrà ciascuna delle cinque cifre di questa password, ovvero si vuole calcolare l'arrangiamento con ripetizione di 10 elementi presi ogni cinque.
ARIA10,5 = 105 = 10.000
Quindi ci sono 10.000 possibilità di password.
Esempio 2:
Sapendo che le targhe automobilistiche sono composte da tre lettere e quattro numeri, quante targhe riesci a formare?
Il nostro alfabeto è composto da 26 lettere e ci sono 10 numeri possibili, quindi dividiamoci in due matrici complete e troviamo il numero di matrici possibili per lettere e numeri.
ARIA26,3 = 26³ = 17.576
ARIA10,4 = 104 = 10.000
Pertanto, il totale delle possibili disposizioni è:
17.576 · 10.000 = 1.757.600.000
Differenza tra disposizione semplice e disposizione ripetuta
Differenziare l'arrangiamento semplice dall'arrangiamento con ripetizione è fondamentale per risolvere problemi sull'argomento. L'importante per la differenziazione è rendersi conto che, quando abbiamo a che fare con una situazione in cui ci sono raggruppamenti il cui ordine è importante, si tratta di di un arrangiamento, e se questi raggruppamenti consentono la ripetizione tra i termini, si tratta di un arrangiamento con ripetizione, noto anche come arrangiamento completare. Quando il raggruppamento non consente la ripetizione, riguarda un arrangiamento semplice.
La formula per la disposizione semplice è diversa da quella che usiamo per la disposizione ripetuta.
Abbiamo visto esempi di disposizione ripetuta in precedenza, ora vediamo un esempio di disposizione semplice
Esempio:
Paulo vuole mettere sullo scaffale tre dei suoi 10 libri di scuola, tutti diversi tra loro, in quanti modi può organizzare questi libri?
Nota che, in questo caso, l'ordine è importante, ma non ci sono ripetizioni, in quanto si tratta di una disposizione semplice. Per trovare il numero di raggruppamenti possibili, dobbiamo:
Per saperne di più su quest'altra forma di raggruppamento utilizzata nell'analisi combinatoria, leggi il testo: ILdisposizione semplice.
Esercizi risolti:
Domanda 1 - (Enem) Una banca ha chiesto ai propri clienti di creare una password personale di sei cifre, composta solo da numeri da 0 a 9, per accedere al conto corrente via internet. Tuttavia, uno specialista in sistemi di sicurezza elettronica ha raccomandato alla direzione della banca di registrare nuovamente i suoi utenti, chiedendo di ciascuno di essi, la creazione di una nuova password a sei cifre, che consente ora di utilizzare le 26 lettere dell'alfabeto, oltre alle cifre da 0 a 9. In questo nuovo sistema, ogni lettera maiuscola era considerata distinta dalla sua versione minuscola. Inoltre, era vietato l'uso di altri tipi di caratteri.
Un modo per valutare un cambiamento nel sistema di password è controllare il coefficiente di miglioramento, che è la ragione del nuovo numero di possibilità di password rispetto a quello vecchio. Il coefficiente di miglioramento del cambiamento consigliato è:
Risoluzione
Alternativa A
La vecchia password è una matrice con ripetizione, in quanto può essere composta da tutti i numeri, quindi è una matrice di 10 elementi presi ogni sei.
ARIA10,6 = 106
La nuova password può essere composta da 10 cifre e anche lettere maiuscole (26 lettere) e minuscolo (26 lettere), quindi la password ha, per ogni cifra, un totale di 10 + 26 + 26 = 62 possibilità. Essendoci sei cifre, calcoleremo l'arrangiamento con ripetizione di 62 elementi presi ogni sei.
ARIA62,6 = 626
IL Motivo del nuovo numero di possibilità di password rispetto al vecchio è pari a 626/106.
Domanda 2 - (Enem 2017) Un'azienda costruirà il proprio sito Web e spera di attirare un pubblico di circa un milione di clienti. Per accedere a questa pagina è necessaria una password con un formato da definire dall'azienda. Ci sono cinque opzioni di formato offerte dal programmatore, descritte nella tabella, dove “L” e “D” rappresentano, rispettivamente, lettera maiuscola e cifra.
Le lettere dell'alfabeto, tra le 26 possibili, così come le cifre, tra le 10 possibili, possono essere ripetute in una qualsiasi delle opzioni.
L'azienda vuole scegliere un'opzione di formato il cui numero di possibili password distinte sia maggiore di numero previsto di clienti, ma che questo numero non superi il doppio del numero previsto di clienti.
Risoluzione
E alternativo
Calcolando ciascuna delle possibilità, vogliamo trovare la password che ha più di un milione di possibilità e meno di due milioni di possibilità.
I → LDDDDDD
26 ·105 è maggiore di due milioni, quindi non soddisfa la richiesta dell'azienda.
II → DDDDDD
106 è pari a un milione, quindi non soddisfa la richiesta dell'azienda.
III → LLDDDD
26² · 104 è maggiore di due milioni, quindi non soddisfa la richiesta dell'azienda.
IV → DDDDD
105 è inferiore a un milione, quindi non soddisfa la richiesta dell'azienda.
V → LLLDD
26³ ·10² è compreso tra un milione e due milioni, quindi questo modello di password è l'ideale.
Credito immagine
[1] Rafael Berlandi / Shutterstock
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm
