Satu persamaan adalah kalimat matematika yang memiliki kesetaraan dan setidaknya satu yang tidak diketahui, yaitu ketika kita memiliki keterlibatan a ekspresi aljabar dan persamaan. Studi tentang persamaan membutuhkan pengetahuan sebelumnya, seperti studi tentang ekspresi numerik. Tujuan dari persamaan adalah temukan nilai yang tidak diketahui yang mengubah kesetaraan menjadi identitas, yaitu kesetaraan sejati.
Baca juga:Operasi dengan pecahan – bagaimana cara menghitungnya?
Konsep Dasar untuk Studi Persamaan
Persamaan adalah kalimat matematika yang memiliki tidak diketahui, setidaknya, dan persamaan, dan kita dapat memeringkatnya dengan jumlah yang tidak diketahui. Lihat beberapa contoh:
a) 5t – 9 = 16
Persamaan memiliki yang tidak diketahui, diwakili oleh huruf untuk.
b) 5x + 6y = 1
Persamaan memiliki dua yang tidak diketahui, diwakili oleh huruf x dan y.
c) untuk4 – 8z = x
Persamaan memiliki tiga yang tidak diketahui, diwakili oleh huruf baik,z dan x.
Apa pun persamaannya, kami harus memperhitungkan
set alam semesta,terdiri dari semua nilai yang mungkin yang dapat kita tetapkan untuk yang tidak diketahui, himpunan ini dilambangkan dengan huruf kamu.Contoh 1
Pertimbangkan persamaan x + 1 = 0 dan kemungkinan solusi x = -1. Sekarang pertimbangkan bahwa himpunan semesta dari persamaan tersebut adalah alam.
Perhatikan bahwa solusi yang diharapkan bukan milik himpunan semesta, karena elemen-elemennya adalah semua nilai yang mungkin yang dapat diambil oleh yang tidak diketahui, jadi x = -1 bukan solusi persamaan.
Tentu saja, semakin besar jumlah yang tidak diketahui, semakin sulit untuk menentukan solusi Anda. ITU larutan atau sumber dari suatu persamaan adalah himpunan semua nilai yang, ketika ditetapkan ke yang tidak diketahui, membuat persamaan menjadi benar.
Contoh 2
Pertimbangkan persamaan dengan 5x – 9 = 16 yang tidak diketahui, periksa apakah x = 5 adalah solusi atau akar persamaan.
Sehingga mungkin untuk mengatakan bahwa x = 5 adalah solusi dari persamaan, kita harus mengganti nilai itu dalam ekspresi, jika kita menemukan persamaan yang benar, bilangan tersebut akan menjadi solusi yang diuji.
5x – 9 = 16
5(5) – 9 = 16
25 – 9 = 16
16 = 16
Lihat bahwa persamaan yang ditemukan adalah benar, sehingga kita memiliki identitas dan angka 5 adalah solusinya. Jadi kita dapat mengatakan bahwa himpunan solusi diberikan oleh:
S = {5}
Contoh 3
Pertimbangkan persamaan t2 = 4 dan periksa apakah t = 2 atau t = –2 adalah solusi persamaan.
Secara analog, kita harus mengganti nilai t ke dalam persamaan, namun, perhatikan bahwa kita memiliki dua nilai untuk yang tidak diketahui dan oleh karena itu kita harus melakukan verifikasi dalam dua langkah.
Langkah 1 – Untuk t = 2
untuk2= 4
22 = 4
4 = 4
Langkah 2 – Untuk t = –2
untuk2 = 4
(–2)2 = 4
4 = 4
Lihat untuk t = 2 dan t = – 2 kami menemukan identitas, jadi kedua nilai ini adalah solusi untuk persamaan. Dengan demikian, kita dapat mengatakan bahwa himpunan penyelesaiannya adalah:
S = {2, –2}
Jenis Persamaan
Kami juga dapat mengklasifikasikan persamaan untuk posisi yang tidak diketahui menempati. Lihat jenis utama:
Persamaan Polinomial
Di persamaan polinomial ditandai dengan memiliki polinomial sama dengan nol. Lihat beberapa contoh:
Itu) 6untuk3+ 5untuk2–5t = 0
Angka-angka6, 5 dan –5 adalah koefisien persamaan.
B) 9x – 9= 0
Angka-angka 9 dan – 9 adalah koefisien persamaan.
c) kamu2– kamu – 1 = 0
Angka-angka 1, – 1 dan – 1 adalah koefisien persamaan.
Derajat persamaan
Persamaan polinomial dapat diklasifikasikan berdasarkan derajatnya. Begitu juga dengan polinomial, derajat persamaan polinomial diberikan oleh pangkat tertinggi yang memiliki koefisien bukan nol.
Dari contoh sebelumnya a, b dan c, kita mendapatkan bahwa derajat persamaan adalah:
a) 6untuk3 + 5t2 –5t = 0 → Persamaan Polinomial dari derajat ketiga
b) 9x – 9 = 0 → Persamaan Polinomial dari gelar pertama
) kamu2 – y – 1 = 0 → Persamaan Polinomial SMA
Baca juga: persamaan kuadratu: cara menghitung, jenis, contoh
persamaan rasional
Persamaan rasional dicirikan dengan memiliki tidak diketahui dalam penyebut a pecahan. Lihat beberapa contoh:
Baca juga: Apa itu bilangan rasional?
persamaan irasional
Di persamaan irasional dicirikan dengan memiliki tidak diketahui dalam akar ke-n, yaitu, di dalam radikal yang memiliki indeks n. Lihat beberapa contoh:
persamaan eksponensial
Di persamaan eksponensial punya tidak diketahui terletak di eksponen dari a potensi. Lihat beberapa contoh:
persamaan logaritma
Di persamaan logaritma dicirikan dengan memiliki satu atau lebih yang tidak diketahui di beberapa bagian logaritma. Kita akan melihat bahwa, ketika menerapkan definisi logaritma, persamaan jatuh dalam beberapa kasus sebelumnya. Lihat beberapa contoh:
Lihat juga: Persamaan derajat pertama dengan yang tidak diketahui
Bagaimana cara menyelesaikan persamaan?
Untuk menyelesaikan persamaan, kita harus mempelajari metode yang digunakan dalam setiap jenis, yaitu, untuk setiap jenis persamaan, ada metode yang berbeda untuk menentukan akar yang mungkin. Namun semua metode ini adalah diturunkan dari prinsip ekuivalensi, dengan itu dimungkinkan untuk memecahkan jenis persamaan utama.
Prinsip kesetaraan
Prinsip kesetaraan kedua, kita dapat dengan bebas beroperasi di satu sisi kesetaraan selama kita melakukan hal yang sama di sisi lain kesetaraan. Untuk meningkatkan pemahaman, kami akan menyebutkan sisi-sisi ini.
Oleh karena itu, prinsip ekivalensi menyatakan bahwa adalah mungkin operasi pada tungkai pertama first bebas selama operasi yang sama dilakukan pada anggota kedua.
Untuk memverifikasi prinsip kesetaraan, pertimbangkan kesetaraan berikut:
5 = 5
Ayo pergi sekarang menambahkan di kedua sisi angka 7, dan perhatikan bahwa kesetaraan akan tetap benar:
5 =5
5 + 7= 5 + 7
12 = 12
Ayo pergi sekarang mengurangi 10 di kedua sisi persamaan, perhatikan lagi bahwa persamaan akan tetap benar:
12 = 12
12 – 10 = 12 – 10
2 = 2
lihat kita bisa berkembang biak atau Bagikan dan naikkan ke potensi atau bahkan ekstrak a sumber,selama itu dilakukan pada anggota pertama dan kedua, persamaan akan selalu berlaku.
Untuk menyelesaikan persamaan, kita harus menggunakan prinsip ini bersama dengan pengetahuan tentang operasi yang disebutkan. Untuk memudahkan pengembangan persamaan, mari kita abaikan operasi yang dilakukan pada anggota pertama, menjadi setara dengan mengatakan bahwa kita memberikan nomor ke anggota lain, menukar tanda sebaliknya.
Ide untuk menentukan solusi persamaan selalu mengisolasi yang tidak diketahui menggunakan prinsip kesetaraan, Lihat:
Contoh 4
Dengan menggunakan prinsip ekivalen, tentukan himpunan solusi dari persamaan 2x – 4 = 8 dengan mengetahui bahwa himpunan semesta diberikan oleh: U = .
2x - 4 = 8
Untuk menyelesaikan persamaan polinomial derajat pertama, kita harus membiarkan yang tidak diketahui di anggota pertama terisolasi. Untuk ini, kita akan mengambil angka -4 dari anggota pertama, menambahkan 4 ke kedua sisi, karena -4 + 4 = 0.
2x - 4 = 8
2x - 4+ 4 = 8+ 4
2x = 12
Perhatikan bahwa melakukan proses ini sama saja dengan melewatkan angka 4 dengan tanda yang berlawanan. Jadi, untuk mengisolasi x yang tidak diketahui, mari berikan angka 2 ke anggota kedua, karena ini mengalikan x. (Ingat: operasi kebalikan dari perkalian adalah pembagian). Itu akan sama dengan membagi kedua sisi dengan 2.
Oleh karena itu, himpunan solusi diberikan oleh:
S = {6}
Contoh 5
Selesaikan persamaan 2x+5 = 128 mengetahui bahwa himpunan semesta diberikan oleh U = .
Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, pertama-tama mari kita gunakan yang berikut: properti potensiasi:
Itum + n = itusaya · Sebuahtidak
Kami juga akan menggunakan fakta bahwa 22 = 4 dan 25 = 32.
2x+5 = 128
2x · 25 = 128
2x · 32 = 128
Perhatikan bahwa adalah mungkin untuk membagi kedua sisi dengan 32, yaitu meneruskan angka 32 ke anggota kedua dengan membagi.
Jadi kita harus:
2x = 4
2x = 22
Satu-satunya nilai x yang memenuhi persamaan adalah angka 2, jadi x = 2 dan himpunan solusi diberikan oleh:
S = {2}
latihan yang diselesaikan
pertanyaan 1 – Pertimbangkan himpunan semesta U = dan tentukan solusi dari persamaan irasional berikut:
Resolusi
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita harus memperhatikan penghapusan akar dari anggota pertama. Perhatikan bahwa, untuk ini, anggota pertama harus dinaikkan ke indeks yang sama dengan root, yaitu, ke kubus. Dengan prinsip kesetaraan, kita juga harus menaikkan anggota kedua kesetaraan.
Perhatikan bahwa kita sekarang harus menyelesaikan persamaan polinomial derajat kedua. Mari berikan angka 11 ke anggota kedua (kurangi 11 di kedua sisi persamaan), untuk mengisolasi x yang tidak diketahui.
x2 = 27 – 11
x2 = 16
Sekarang untuk menentukan nilai x, lihat ada dua nilai yang memenuhi persamaan, x’ = 4 atau x’’ = –4, sekali:
42 = 16
dan
(–4)2 = 16
Namun, perhatikan dalam pernyataan pertanyaan bahwa himpunan semesta yang diberikan adalah himpunan bilangan asli, dan bilangan -4 bukan miliknya, dengan demikian, himpunan penyelesaiannya diberikan oleh:
S = {4}
pertanyaan 2 – Pertimbangkan persamaan polinomial x2 + 1 = 0 mengetahui bahwa himpunan semesta diberikan oleh U = .
Resolusi
Untuk prinsip kesetaraan, kurangi 1 dari kedua anggota.
x2 + 1 – 1= 0 – 1
x2 = – 1
Perhatikan bahwa kesetaraan tidak memiliki solusi, karena himpunan semesta adalah bilangan real, yaitu, semua nilai-nilai yang tidak diketahui dapat mengasumsikan adalah nyata, dan tidak ada bilangan real yang, ketika dikuadratkan, adalah negatif.
12 = 1
dan
(–1)2 = 1
Oleh karena itu, persamaan tersebut tidak memiliki solusi dalam himpunan real, dan dengan demikian kita dapat mengatakan bahwa himpunan solusi tersebut kosong.
S = {}
oleh Robson Luis
Guru matematika
