Matriks terbalik: apa itu, bagaimana menemukan latihan

Konsep dari matriks terbalik datang sangat dekat dengan konsep kebalikan dari nomor. Mari kita ingat bahwa kebalikan dari suatu bilangan tidak adalah nomornya tidak^-1, di mana produk antara keduanya sama dengan elemen netral dari perkalian, yaitu nomor 1. Sudah invers matriks M adalah matriks M^-1, dimana hasil kali M · M^-1 sama dengan matriks identitas I_tidak, yang tidak lebih dari elemen netral perkalian matriks.

Agar matriks memiliki invers, matriks itu harus persegi dan, di samping itu, determinannya harus berbeda dari nol, jika tidak, tidak akan ada invers. Untuk mencari matriks invers, kita menggunakan persamaan matriks.

Baca juga: Matriks segitiga — jenis khusus matriks persegi

Agar suatu matriks memiliki invers, matriks tersebut harus persegi.

matriks identitas

Untuk memahami apa itu matriks invers, pertama-tama perlu diketahui matriks identitasnya. Kita tahu sebagai matriks identitas matriks persegi I_tidak dimana semua elemen diagonal utama sama dengan 1 dan suku lainnya sama dengan 0.

ITU matriks identitas adalah elemen netral dari perkalian antar matriks., yaitu, diberikan markas besar M orde n, hasil kali antara matriks M dan matriks I_tidak sama dengan matriks M.

M · saya_tidak = M

Bagaimana menghitung matriks terbalik

Untuk menemukan matriks invers dari M, kita perlu menyelesaikan persamaan matriks:

 M · M^-1 = saya_tidak

Contoh

Tentukan matriks invers dari M.

Karena kita tidak mengetahui matriks invers, mari kita nyatakan matriks ini secara aljabar:

Kita tahu bahwa produk antara matriks-matriks ini harus sama dengan I₂:

Sekarang mari kita selesaikan persamaan matriksnya:

Dimungkinkan untuk memisahkan masalah menjadi dua sistem dari persamaan. Yang pertama menggunakan kolom pertama dari matriks M ·M^-1 dan kolom pertama dari matriks identitas. Jadi, kita harus:

Untuk menyelesaikan sistem, mari kita isolasi₂₁ pada persamaan II dan substitusikan pada persamaan I.

Substitusi ke persamaan I, kita harus:

Bagaimana cara mencari nilai a₁₁, maka kita akan mencari nilai a₂₁:

Mengetahui nilai₂₁ dan₁₁, sekarang kita akan mencari nilai suku-suku lainnya dengan menyiapkan sistem kedua:

mengisolasi₂₂ dalam persamaan III, kita harus:

3₁₂ + 1₂₂ = 0

Itu₂₂ = – ke-3₁₂

Substitusi ke persamaan IV:

tanggal 5₁₂ + 2₂₂ =1

tanggal 5₁₂ + 2·( - ke-3₁₂) = 1

tanggal 5₁₂ – tanggal 6₁₂ = 1

- Sebuah₁₂ = 1 ( – 1)

Itu₁₂ = – 1

Mengetahui nilai₁₂, kita akan mencari nilai a₂₂ :

Itu₂₂ = – ke-3₁₂

Itu₂₂ = – 3 · ( – 1)

Itu₂₂ = 3

Sekarang kita tahu semua suku dari matriks M^-1, adalah mungkin untuk mewakilinya:

Baca juga: Penjumlahan dan pengurangan matriks

Sifat Matriks Terbalik

Ada properti yang dihasilkan dari mendefinisikan matriks terbalik.

• properti pertama: invers dari matriks M^-1 sama dengan matriks M. Invers suatu matriks invers selalu merupakan matriks itu sendiri, yaitu (M^-1)^-1 = M, karena kita tahu bahwa M^-1 · M = saya_tidak, oleh karena itu M^-1 adalah invers dari M dan juga M adalah invers dari M^-1.
• properti ke-2: invers dari matriks identitas adalah dirinya sendiri: I^-1 = I, karena produk dari matriks identitas dengan sendirinya menghasilkan matriks identitas, yaitu I_tidak · saya_tidak = saya_tidak.
• properti ke-3: kebalikan dari hasil kali dua matriksApakah kamu sama dengan produk dari invers:

(M × H)^-1 = M^-1 · SEBUAH^-1.

• properti ke-4: suatu matriks bujur sangkar memiliki invers jika dan hanya jika penentu berbeda dari 0, yaitu det(M) 0.

latihan yang diselesaikan

1) Diketahui matriks A dan matriks B, diketahui invers, maka nilai x+y adalah:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Resolusi:

Alternatif d.

Membangun persamaan:

A · B = Saya 

Dengan kolom kedua, sama dengan istilah, kita harus:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

Mengisolasi x menjadi I:

Mengganti di persamaan II, kita harus:

Mengetahui nilai y, kita akan menemukan nilai x:

Sekarang mari kita hitung x + y:

pertanyaan 2

Suatu matriks hanya memiliki invers jika determinannya berbeda dengan 0. Perhatikan matriks di bawah ini, berapakah nilai x yang membuat matriks tidak mendukung invers?

a.0 dan 1.

b) 1 dan 2.

c) 2 dan – 1.

d.3 dan 0.

e) – 3 dan – 2.

Resolusi:

Alternatif b.

Menghitung determinan A, kita menginginkan nilai di mana det(A) = 0.

det (A) = x ·(x – 3) – 1 · ( – 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x² - 3x + 2 = 0

memecahkan persamaan derajat 2, Kita harus:

• a = 1
• b = – 3
• c = 2

= b² - 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

Oleh Raul Rodrigues de Oliveira
Guru matematika

Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm