Salah satu teknik yang digunakan untuk memecahkan persamaan kuadrat adalah metode yang dikenal sebagai kuadrat lengkap. Metode ini terdiri dari menafsirkan persamaan dari keduagelar sebagai trinomial kuadrat sempurna dan tulis formulir faktor Anda. Terkadang prosedur sederhana ini sudah mengungkapkan akar persamaan.
Oleh karena itu, diperlukan pengetahuan dasar tentang produk terkenal, trinomialkotakSempurna dan faktorisasi polinomial untuk menggunakan teknik ini. Seringkali, bagaimanapun, memungkinkan perhitungan dilakukan "di kepala".
Oleh karena itu, kita akan mengingat tiga kasus dari produkluar biasa sebelum mendemonstrasikan metodeuntuk menyelesaikankotak, yang, pada gilirannya, akan diekspos dalam tiga kasus berbeda.
Produk luar biasa dan trinomial kuadrat sempurna
Selanjutnya, lihat produk yang luar biasa, yaitu trinomialkotakSempurna yang setara dengan itu dan bentuknya difaktorkan dari trinomial ini, masing-masing. Untuk melakukannya, pertimbangkan bahwa x tidak diketahui dan Itu adalah sembarang bilangan real.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k)(x + k)
(x - k)2 = x2 – 2kx + k2 = (x - k)(x - k)
Persamaan derajat kedua mengacu pada ketiga produkluar biasa, yang dikenal sebagai hasil kali jumlah dan selisih, dapat diselesaikan dengan menggunakan teknik yang membuat perhitungan menjadi lebih mudah. Akibatnya, itu tidak akan dipertimbangkan di sini.
Persamaannya adalah trinomial kuadrat sempurna
Jika satu persamaan dari keduagelar adalah trinomial kuadrat sempurna, maka Anda dapat mengidentifikasi koefisiennya sebagai: a = 1, b = 2k atau – 2k dan c = k2. Untuk memeriksa ini, cukup bandingkan persamaan kuadrat dengan a trinomialkotakSempurna.
Oleh karena itu, dalam penyelesaian persamaan dari keduagelar x2 + 2kx + k2 = 0, kita akan selalu memiliki kemungkinan untuk melakukan:
x2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
[(x + k)2] = √0
|x + k| = 0
x + k = 0
x = - k
– x – k = 0
x = - k
Jadi, solusinya unik dan sama dengan –k.
Jika persamaan jadilah x2 – 2kx + k2 = 0, kita dapat melakukan hal yang sama:
x2 – 2kx + k2 = 0
(x - k)2 = 0
[(x - k)2] = √0
|x – k| = 0
x - k = 0
x = k
– x + k = 0
– x = – k
x = k
Oleh karena itu, solusinya adalah unik dan sama dengan k.
Contoh: Apa akar dari persamaan x2 + 16x + 64 = 0?
Perhatikan bahwa persamaannya adalah trinomialkotakSempurna, karena 2k = 16, di mana k = 8, dan k2 = 64, di mana k = 8. Jadi kita bisa menulis:
x2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
[(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = – 8
Di sini hasilnya telah disederhanakan, karena kita sudah tahu bahwa dua solusi akan sama dengan bilangan real yang sama.
Persamaan tersebut bukan trinomial kuadrat sempurna
Dalam kasus di mana persamaan dari keduagelar bukan trinomial kuadrat sempurna, kita dapat mempertimbangkan hipotesis berikut untuk menghitung hasilnya:
x2 + 2kx + C = 0
Perhatikan bahwa untuk persamaan ini berubah menjadi a trinomialkotakSempurna, ganti saja nilai C dengan nilai k2. Karena ini adalah persamaan, satu-satunya cara untuk melakukannya adalah dengan menambahkan k2 pada kedua anggota, kemudian menukar koefisien anggota C. Menonton:
x2 + 2kx + C = 0
x2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
x2 + 2kx + k2 = k2 -
Setelah prosedur ini, kita dapat melanjutkan dengan teknik sebelumnya, mengubah trinomialkotakSempurna menjadi produk yang luar biasa dan menghitung akar kuadrat pada kedua tungkai.
x2 + 2kx + k2 = k2 -
(x + k)2 = k2 -
[(x + k)2] = (k2 - )
x + k = ± (k2 - )
Tanda ± muncul setiap kali hasil a persamaan adalah akar kuadrat, karena dalam kasus ini hasil akar kuadrat adalah a modul, seperti yang ditunjukkan pada contoh pertama. Akhirnya, yang tersisa hanyalah melakukan:
x = – k ± (k2 - )
Jadi, ini persamaan memiliki dua hasil nyata dan berbeda, atau tidak ada hasil nyata ketika C > k2.
Sebagai contoh, hitung akar-akar dari x2 + 6x + 8 = 0.
Larutan: Perhatikan bahwa 6 = 2·3x. Oleh karena itu, k = 3 dan karena itu k2 = 9. Oleh karena itu, jumlah yang harus kita tambahkan di kedua anggota sama dengan 9:
x2 + 6x + 8 = 0
x2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
x2 + 6x + 9 = 9 - 8
x2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
[(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1 - 3
x’ = 1 – 3 = – 2
x’’ = – 1 – 3 = – 4
Dalam hal ini koefisien a 1
ketika koefisien Itu, memberikan persamaan dari keduagelar, berbeda dari 1, cukup bagi seluruh persamaan dengan nilai numerik dari koefisien Itu untuk kemudian menerapkan salah satu dari dua metode sebelumnya.
Jadi, dalam persamaan 2x2 + 32x + 128 = 0, kita memiliki akar unik yang sama dengan 8, karena:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
x2 + 16x + 64 = 0
Dan, dalam persamaan 3x2 + 18x + 24 = 0, kita memiliki akar – 2 dan – 4, karena:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
x2 + 6x + 8 = 0
Oleh Luiz Paulo Moreira
Lulus matematika
Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-metodo-completar-quadrados.htm