Mersenne, Bilangan Prima dan Bilangan Sempurna

Kami mengatakan bahwa bilangan asli sempurna jika sama dengan jumlah semua faktornya (pembagi), tidak termasuk dirinya sendiri. Misalnya, 6 dan 28 adalah bilangan sempurna, lihat:
6 = 1 + 2 + 3 (faktor 6:1, 2, 3 dan 6), kami mengecualikan angka 6.
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (faktor dari 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28), kami mengecualikan 28.
Bilangan Mersenne adalah bilangan yang berbentuk Mn = 2n – 1. Dia bahkan berpikir bahwa ungkapan ini akan dapat menghitung kemungkinan bilangan prima dengan mempertimbangkan n = bilangan prima, tetapi kemudian ternyata dia hampir benar. Sebagai contoh:
saya₁ = 2¹ – 1 = 1
saya₂ = 2² – 1 = 3 → n = 2 (sepupu), M₂ = 3 (sepupu)
saya₃ = 2³ – 1 = 7 → n = 3 (sepupu), M₃ = 7 (sepupu)
saya₄ = 2⁴ – 1 = 15
saya₅ = 2⁵ – 1 = 31 → n = 5 (sepupu), M₅ = 31 (sepupu)
saya₆ = 2⁶ – 1 = 63
saya₇ = 2⁷ – 1 = 127 → n = 7 (sepupu), M₇ = 127 (sepupu)
saya₈ = 2⁸ – 1 = 255
saya₉ = 2⁹ – 1 = 511
saya₁₀ = 2¹⁰ – 1 = 1023
saya₁₁ = 2¹¹ – 1 = 2047 → n = 11 (sepupu), M₁₁ = 2047 (bukan prima)
saya

₁₃ = 2¹³ – 1 = 8191 → n = 13 (sepupu), M₁₃ = 8191 (sepupu)
Dalam barisan bilangan prima ada unsur yang diterapkan dalam rumus Mersenne tidak menghasilkan unsur prima, misal bilangan 11, bila diterapkan pada rumus menghasilkan 2047, bilangan bukan sepupu.
Pengetahuan tentang bilangan sempurna dikaitkan dengan Euclid, matematikawan Yunani terkenal yang mendirikan Geometri. Metode yang dia gunakan dimulai dengan 1 menambahkan kekuatan 2 ke bilangan prima. Angka sempurna kemudian diperoleh dengan mengalikan jumlah dengan kekuatan terakhir 2.

Perhatikan hubungan antara bilangan sempurna dan bilangan prima Mersenne.

oleh Mark Nuh
Lulus matematika
Tim Sekolah Brasil

Himpunan numerik - matematika - Sekolah Brasil

Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/mersenne-numeros-primos-numeros-perfeitos.htm