Egyenlet: mi ez, alapfogalmak, típusok, példák

Egy egyenlet olyan matematikai mondat, amely egyenlőségű és legalább egy ismeretlen, vagyis amikor a algebrai kifejezés és egyenlőség. Az egyenletek tanulmányozása előzetes ismereteket igényel, például a numerikus kifejezések. Az egyenlet célja az keresse meg az ismeretlen értéket amely az egyenlőséget identitássá, vagyis valódi egyenlőséggé változtatja.

Olvassa el:Törtekkel végzett műveletek - hogyan lehet kiszámítani?

Alapfogalmak az egyenlet tanulmányozásához

Az egyenlet egy matematikai mondat, amelynek a ismeretlen, legalábbis, és a egyenlőség, és az ismeretlenek száma alapján rangsorolhatjuk. Néhány példa:

a) 5t - 9 = 16

Az egyenlet ismeretlen, amelyet a betű képvisel t.

b) 5x + 6y = 1

Az egyenletnek két ismeretlenje van, amelyeket a betűk képviselnek x és y.

c) t⁴ - 8z = x

Az egyenletnek három ismeretlenje van, amelyeket a betűk képviselnek rendben,z és x.

Bármi legyen is az egyenlet, figyelembe kell vennünk az Ön adatait világegyetem készlet,az összes lehetséges értékből áll, amelyeket az ismeretlennek rendelhetünk, ezt a halmazt a betű képviseli U.

• 1. példa

Tekintsük az x + 1 = 0 egyenletet és annak lehetséges megoldását x = –1. Most vegyük figyelembe, hogy az egyenlet univerzumkészlete a természetes.

Megjegyezzük, hogy a feltételezett megoldás nem tartozik az univerzum halmazába, mivel elemei az összes lehetséges érték, amelyet az ismeretlen vehet fel, tehát x = –1 nem az egyenlet megoldása.

Természetesen minél nagyobb az ismeretlenek száma, annál nehezebb meghatározni a megoldást. A megoldás vagy forrás Az egyenlet értéke az összes olyan érték halmaza, amely az ismeretlennel rendelve igazsá teszi az egyenlőséget.

• 2. példa

Tekintsük az ismeretlen 5x - 9 = 16 egyenletet, ellenőrizzük, hogy x = 5 az egyenlet megoldása vagy gyöke.

Hogy ezt meg lehessen mondani x = 5 az egyenlet megoldása, ezt az értéket kell helyettesítenünk a kifejezésben, ha valódi egyenlőséget találunk, akkor a szám lesz a tesztelt megoldás.

5x – 9 = 16

5(5) – 9 = 16

25 – 9 = 16

16 = 16

Lásd, hogy a megtalált egyenlőség igaz-e, tehát van identitásunk, és az 5-ös szám megoldás. Tehát azt mondhatjuk, hogy a megoldáskészletet a következő adja:

S = {5}

• 3. példa

Tekintsük a t egyenletet² = 4, és ellenőrizze, hogy t = 2 vagy t = –2 megoldás-e az egyenletre.

Hasonlóképpen helyettesítenünk kell a t értékét az egyenletbe, azonban vegye figyelembe, hogy az ismeretlennek két értéke van, ezért az ellenőrzést két lépésben kell elvégeznünk.

1. lépés - T = 2 esetén

t²= 4

2² = 4

4 = 4

2. lépés - T = –2 esetén

t² = 4

(–2)² = 4

4 = 4

Lásd t = 2 és t = - 2 esetén találunk egy azonosságot, tehát ez a két érték megoldást jelent az egyenletre. Így azt mondhatjuk, hogy a megoldáskészlet:

S = {2, –2}

Egyenlettípusok

Besorolhatunk egy egyenletet az ismeretlenek által elfoglalt helyzetre is. Lásd a fő típusokat:

• Polinomiális egyenletek

Nál nél polinomegyenletek jellemzik, hogy polinomjuk nulla. Néhány példa:

A) 6t³+ 5t²–5t = 0

A számok6, 5 és –5 az egyenlet együtthatói.

B) 9x – 9= 0

A számok 9 és – 9 az egyenlet együtthatói.

c) y²– y – 1 = 0

A számok 1, – 1 és – 1 az egyenlet együtthatói.

• Egyenlet fok

A polinomegyenletek fokozatuk szerint osztályozhatók. Valamint a polinomok, a polinomiális egyenlet mértékét a a legnagyobb teljesítmény, amelynek nulla nem együtthatója van.

Az előző a, b és c példákból kiderül, hogy az egyenletek fokai:

a) 6t³ + 5t² –5t = 0 → Polinomiális egyenlet harmadik fokozat

b) 9x - 9 = 0 → Polinomiális egyenlet első fokozat

ç) y² - y - 1 = 0 → Polinomiális egyenlet Gimnázium

Olvasd el te is: másodfokú egyenletu: hogyan kell kiszámolni, típusok, példák

• racionális egyenletek

A racionális egyenleteket az jellemzi, hogy megvan ismeretlenek a nevezőjében töredék. Néhány példa:

Olvasd el te is: Mik a racionális számok?

• irracionális egyenletek

Nál nél irracionális egyenletek jellemzi, hogy azok ismeretlenek az n-edik gyökön belül, azaz egy olyan gyök belsejében, amelynek n indexe van. Néhány példa:

• exponenciális egyenletek

Nál nél exponenciális egyenletek megvan a a kitevőben található ismeretlenek a potencia. Néhány példa:

• logaritmikus egyenlet

Nál nél logaritmikus egyenletek jellemzi, hogy egy vagy több ismeretlen a logaritmus. Látni fogjuk, hogy a logaritmus meghatározásának alkalmazásakor az egyenlet az előző esetek egy részébe esik. Néhány példa:

Lásd még: Első fokú egyenlet egy ismeretlennel

Hogyan lehet megoldani az egyenletet?

Egy egyenlet megoldásához meg kell vizsgálnunk a az egyes típusokban alkalmazott módszerek, vagyis az egyes egyenlettípusokhoz más módszer létezik a lehetséges gyökerek meghatározására. Mindezek a módszerek azonban az egyenértékűség elvéből származik, vele meg lehet oldani az egyenletek fő típusait.

• Az egyenértékűség elve

Az egyenértékűség második elve: szabadon működhetünk az egyenlőség egyik oldalán, amíg ugyanezt tesszük az egyenlőség másik oldalán. A megértés javítása érdekében megnevezzük ezeket az oldalakat.

Ezért az ekvivalencia elv kijelenti, hogy lehetséges az első végtagot működtesse szabadon mindaddig, amíg a ugyanezt a műveletet hajtják végre a második tagnál is.

Az egyenértékűség elvének ellenőrzéséhez vegye figyelembe a következő egyenlőséget:

5 = 5

Menjünk most hozzáadni mindkét oldalon a 7-es számot, és vegye figyelembe, hogy az egyenlőség továbbra is igaz lesz:

5 =5

5 + 7= 5 + 7

12 = 12

Menjünk most kivonni 10 az egyenlőség mindkét oldalán, ismét vegye figyelembe, hogy az egyenlőség továbbra is igaz lesz:

12 = 12

12 – 10 = 12 – 10

2 = 2

látjuk, hogy tudunk szaporodnak vagy Ossza meg és emelje a-ra potencia vagy akár kivonat a forrás, mindaddig, amíg az első és a második tagnál történik, az egyenlőség mindig igaz marad.

Egy egyenlet megoldásához ezt az elvet kell használnunk az említett műveletek ismeretével együtt. Az egyenletek fejlesztésének megkönnyítése érdekében hagyjuk ki az első tagon végzett műveletet, ekvivalens azzal, hogy azt mondjuk, hogy a számot átadjuk a másik tagnak, a jelet ezzel ellentétesre cseréljük.

Az egyenlet megoldásának meghatározása mindig az izolálja az ismeretlent az egyenértékűség elvével, Néz:

• 4. példa

Az ekvivalencia elvének felhasználásával határozza meg a 2x - 4 = 8 egyenlet megoldási halmazát, tudván, hogy az univerzum halmazát az adja: U = ℝ.

2x - 4 = 8

Az első fokú polinomiális egyenlet megoldásához az ismeretlent az első tagban el kell hagynunk elszigetelten. Ehhez az első tagtól vesszük a –4 számot, mindkét oldalhoz 4-et adunk, mivel –4 + 4 = 0.

2x - 4 = 8

2x - 4+ 4 = 8+ 4

2x = 12

Vegye figyelembe, hogy ennek a folyamatnak az elvégzése egyenértékű azzal, hogy egyszerűen átadja a 4-es számot ellenkező előjellel. Tehát az ismeretlen x elkülönítéséhez adjuk át a 2-es számot a második tagnak, mivel ez szorozza x-et. (Ne feledje: a szorzás inverz művelete osztás). Ugyanaz lenne, ha mindkét oldalt elosztanánk 2-vel.

Ezért a megoldáskészletet a következő adja:

S = {6}

• 5. példa

Oldja meg a 2. egyenletet^{x + 5} = 128 tudva, hogy az univerzum halmazát U = ℝ adja.

Az exponenciális egyenlet megoldásához használjuk először a következőket potenciatulajdonság:

A^{m + n} = a^m · A^nem

Azt is felhasználjuk, hogy 2² = 4 és 2⁵ = 32.

2^{x + 5} = 128

2^x · 2⁵ = 128

2^x · 32 = 128

Ne feledje, hogy mindkét oldalt el lehet osztani 32-vel, vagyis osztással el lehet adni a 32-es számot a második tagnak.

Tehát nekünk:

2^x = 4

2^x = 2²

Az x egyetlen értéke, amely kielégíti az egyenlőséget, a 2-es szám, tehát x = 2 és a megoldási halmazt adja meg:

S = {2}

Az egyenletek több tudományterületen is jelen vannak.

megoldott gyakorlatok

1. kérdés - Tekintsük az U = ℕ beállított univerzumot, és határozzuk meg a következő irracionális egyenlet megoldását:

Felbontás

Ennek az egyenletnek a megoldásához az első tag gyökerének kiküszöbölésével kell foglalkoznunk. Ne feledje, hogy ehhez meg kell emelni az első tagot a gyökérrel azonos indexbe, vagyis a kockába. Az egyenértékűség elvével az egyenlőség második tagját is fel kell nevelnünk.

Ne feledje, hogy most meg kell oldanunk egy második fokú polinomiális egyenletet. Adjuk át a 11-es számot a második tagnak (vonjuk le a 11-et az egyenlőség mindkét oldalán), az ismeretlen x izolálása érdekében.

x² = 27 – 11

x² = 16

Az x értékének meghatározásához nézze meg, hogy két érték van-e, amely kielégíti az egyenlőséget, x ’= 4 vagy x’ ’= –4, egyszer:

4² = 16

és

(–4)² = 16

A kérdés állításában azonban vegye figyelembe, hogy az adott univerzumkészlet a természetes számok halmaza, és a –4 szám nem tartozik hozzá, így a megoldási halmazt adja meg:

S = {4}

2. kérdés - Tekintsük az x polinomegyenletet² + 1 = 0 tudva, hogy az univerzum halmazát U = ℝ adja.

Felbontás

Az egyenértékűség elvéhez vonjunk le 1-t mindkét tagból.

x² + 1 – 1= 0 – 1

x² = – 1

Vegye figyelembe, hogy az egyenlőségnek nincs megoldása, mivel az univerzum halmaza a valós szám, vagyis az összes azok az értékek, amelyeket az ismeretlen feltételezhet, valósak, és nincs olyan valós szám, amely négyzetre állítva lenne negatív.

1² = 1

és

(–1)² = 1

Ezért az egyenletnek nincs megoldása a realok halmazában, és így azt mondhatjuk, hogy a megoldás halmaz üres.

S = {}

írta Robson Luiz
Matematikatanár