Analitikus geometria: főbb fogalmak és képletek

Az analitikus geometria egy síkban vagy térben lévő koordinátarendszer geometriai elemeit vizsgálja. Ezeket a geometriai objektumokat a helyzetük és az ezen orientációs rendszer pontjaihoz és tengelyeihez viszonyított helyzetük határozza meg.

Az ókori népek, például az egyiptomiak és a rómaiak óta a koordináták ötlete már megjelent a történelemben. De a 17. században René Descartes és Pierre de Fermat munkáival rendszeresítették a matematikának ezt a területét.

Descartes ortogonális rendszer

Az ortogonális derékszögű rendszer egy referenciabázis a koordináták meghatározásához. Egy síkban két egymásra merőleges tengely alkotja.

Ennek a rendszernek az O(0,0) origója ezeknek a tengelyeknek a metszéspontja.
Az x tengely az abszcissza.
Az y tengely az ordináta.
A négy kvadráns az óramutató járásával ellentétes irányú.

rendelt pár

A sík bármely pontjának P(x, y) koordinátája van.

x a P pont abszcisszán, és az x tengelyre merőleges vetülete és az origó közötti távolságot jelenti.
y a P pont ordinátája, és az y tengelyre merőleges vetülete és az origó közötti távolság.

instagram story viewer

távolság két pont között

A derékszögű síkon két pont közötti távolság a két pontot összekötő szakasz hossza.

Két pont közötti távolság képlete egyenes Egy bal zárójel egyenes x egyenes Egy alsó index vessző egyenes szóköz y egyenes Egy alsó index jobb zárójel és egyenes B nyitott zárójelek egyenes x egyenes B alsó indexszel vessző egyenes szóköz y egyenes B alsó index szóköz zárójelek bezárása Bármi.

kezdőstílus matematikai méret 22 képpont egyenes d AB alsó indexszel egyenlő a bal zárójel négyzetgyökével egyenes x egyenes B alsó indexszel mínusz egyenes x egyenes A alsó indexszel jobb oldali négyzetes zárójel plusz bal zárójel egyenes y egyenes B index mínusz egyenes y egyenes A alsó index jobb szögletes zárójel gyökér vége stílus

Középpont koordináták

A felezőpont az a pont, amely egy szakaszt két egyenlő részre oszt.

Lény M nyitja az x zárójelet M alsó indexszel vesszőközzel, y M alsó indexszel zárja be a zárójeleket egy szakasz felezőpontja A B verem a sáv felett , koordinátái az abszcissza és az ordináta számtani középértékei.

kezdőstílus matematikai méret 22 képpont x egyenes M alsó indexszel egyenlő a számlálóval egyenes x egyenes B alsó indexszel plusz egyenes x egyenes A alsó indexszel a 2. nevező felett tört vége stílus vége és

Hárompontos igazítási feltétel

A pontok alapján: .

Ez a három pont akkor lesz igazítva, ha a következő mátrix determinánsa egyenlő nullával.

kezdési stílus matematikai méret 22 képpont det szóköz nyitott szögletes zárójelek táblázat sor cellával egyenes x egyenessel A cella alsó indexe cella vége egyenes y-val egyenes A-val cella vége 1 sor cellával egyenes x egyenes B indexszel cella vége egyenes y-val egyenes B alsó indexszel cella vége 1 sor cellával egyenes x egyenes C alsó indexgel cella vége egyenes y C alsó indexszel a cella vége 1 A táblázat vége bezárja a szögletes zárójelet szóköz egyenlő szóközzel 0 a stílus vége

Példa

Egy vonal szögegyütthatója

a lejtő egyenes m egy egyenes vonalának a meredekségének érintője alfa az x tengelyhez képest.

kezdő stílus matematikai méret 22 képpont egyenes m tér egyenlő a szóközzel tg egyenes tér alfa stílus vége

A meredekség két pontból történő kiszámításához:

kezdőstílus matematikai méret 22 képpont egyenes m egyenlő a számláló y egyenesével, egyenes B alsó indexszel mínusz egyenes y egyenes A-val alsó index a nevező felett egyenes x egyenes B alsó index mínusz egyenes x egyenes A alsó index tört vége vége stílus

Ha m > 0, akkor az egyenes növekvő, ellenkező esetben, ha m < 0, akkor csökkenő.

az egyenes általános egyenlete

Ahol Az,B és ç állandó valós számok, és Az és B nem egyidejűleg nullák.

Példa

Egyenlet egy pont és a meredekség ismeretében

pontot adott egyenes A zárójeleket nyit meg egyenes x 0 alsó indexszel vessző egyenes szóköz y 0 alsó indexgel bezárja a zárójeleket és a lejtőt egyenes m .

Az egyenes egyenlete a következő lesz:

kezdőstílus matematikai méret 22 képpont egyenes y mínusz egyenes y 0 alsó indexgel egyenlő egyenes m bal zárójel egyenes x mínusz egyenes x 0 alsó index jobb zárójel stílus vége

Példa

Az egyenes egyenlet redukált alakja

kezdő stílus matematikai méret 22 képpont egyenes y egyenlő mx egyenes n stílus vége

Ahol:
m a lejtő;
n a lineáris együttható.

nem ott van rendezve, ahol az egyenes metszi az y tengelyt.

Példa

Néz Vonalegyenlet.

Relatív helyzet két párhuzamos egyenes között egy síkban

Két különálló egyenes párhuzamos, ha meredeksége egyenlő.

ha egy egyenes r lejtős egyenes m egyenes r indexszel , és egy egyenes s lejtős egyenes m egyenes s alsó indexszel , ezek párhuzamosak, amikor:

kezdőstílus matematikai méret 22 képpont egyenes m egyenes r indexszel egyenlő m egyenes s alsó indexszel stílus vége

Ehhez az Ön hajlamainak egyenlőnek kell lenniük.

m s alsó index egyenlő t g alfa szóköz s alsó index szóköz alsó index vége m r alsó index egyenlő t g alfa szóköz r alsó index szóköz alsó index vége

Az érintők egyenlőek, ha a szögek egyenlőek.

Relatív helyzet két versengő egyenes között egy síkban

Két vonal egyidejű, ha a meredekségük eltérő.

Hiba a MathML-ből hozzáférhető szöveggé konvertáláskor.

A lejtők viszont különböznek, ha az x tengelyhez viszonyított dőlésszögük eltérő.

alpha az r alsó indexszel nem egyenlő az alfa az s alsó indexszel

merőleges vonalak

Két maradék merőleges, ha meredekségük szorzata -1.

két egyenes r és s, különálló, lejtős m r indexszel és m with s előfizetett , akkor és csak akkor merőlegesek, ha:

kezdőstílus matematikai méret 22px egyenes m egyenes r indexszel. egyenes m s alsó indexszel egyenlő mínusz 1 stílusvéggel

vagy

kezdőstílus matematikai méret 22 képpont egyenes m egyenes r indexszel egyenlő mínusz 1-gyel az egyenes m-hez képest egyenes s alsó index stílus vége

Egy másik módja annak, hogy megtudja, hogy két egyenes merőleges-e, az általános formájú egyenleteikből.

Az r és s egyenesek egyenletei:

r kettőspont egy szóköz r alsó indexszel x plusz b r alsó indexszel y plusz szóköz c r alsó index szóközzel s kettőspont szóköz s alsó indexszel x plusz b s alsó indexszel y plus c c s alsó indexszel

Két rá merőleges vonal, amikor:

kezdési stílus matematikai méret 22 képpont egyenes a egyenes r indexszel. egyenes a egyenes s alsó indexszel plusz egyenes b egyenes r indexszel. egyenes b egyenes s alsó indexszel, amely egyenlő 0 stílusvéggel

Néz Merőleges vonalak.

Körméret

A kerület az a hely a síkon, ahol minden P(x, y) pont azonos távolságra van r középpontjából C(a, b), ahol r a sugár mértéke.

Kerületi egyenlet redukált formában

kezdő stílus matematikai méret 22 képpont nyitott szögletes zárójel x mínusz egyenes és bezárás szögletes zárójel plusz nyitott zárójel y mínusz egyenes b zárja a négyzetes zárójelet egyenlő r négyzetes végével stílus

Ahol:
r a sugár, az ív bármely pontja és a középpont közötti távolság. Ç.
Az és B a középpont koordinátái Ç.

a kör általános egyenlete

kezdő stílus matematikai méret 22 képpont egyenes x négyzet plusz egyenes y négyzet mínusz 2 ax mínusz 2 plusz nyitott zárójelek egyenes a négyzet plusz egyenes b négyzet mínusz egyenes r négyzet bezárja a 0-val egyenlő zárójelet stílus

Ezt a kerület redukált egyenletének négyzetes tagjának fejlesztésével kapjuk meg.

Nagyon gyakori, hogy a gyakorlatokban a kerületi egyenlet általános alakját, más néven normál alakját mutatják be.

kúpos

A kúp szó a kúpból származik, és a metszéssel kapott görbékre utal. Az ellipszis, a hiperbola és a parabola kúpos görbék.

Ellipszis

Az ellipszis egy zárt görbe, amelyet úgy kapunk, hogy egy egyenes körkúpot egy tengelyre ferde síkkal metszünk, amely nem halad át a csúcson, és nem párhuzamos annak generatricáival.

Egy síkban azon pontok halmaza, amelyek két belső fix pont távolságának összege állandó.

Ellipszis elemek:

F1 és F2 az ellipszis fókuszai;
A 2c az ellipszis gyújtótávolsága. Ez az F1 és az F2 közötti távolság;
A lényeg O ez az ellipszis közepe. Ez az F1 és F2 közötti felezőpont;
A1 és A2 az ellipszis csúcsai;
a szegmens főtengely és egyenlő 2a.
a szegmens melléktengely egyenlő 2b-vel.
Különcség ahol 0 < és < 1.

Redukált ellipszis egyenlet

Tekintsünk egy P(x, y) pontot az ellipszisben, ahol x az abszcissza, y pedig ennek a pontnak az ordinátája.

Az ellipszis középpontja a koordinátarendszer origójában és a főtengely (AA) az x tengelyen.

kezdő stílus matematikai méret 22 képpont egyenes x négyzet az egyenes felett a négyzet plusz egyenes y négyzet az egyenes felett b négyzet egyenlő a stílus 1 végével

Az ellipszis középpontja a koordinátarendszer origójában és a főtengely (AA) az y tengelyen.

kezdő stílus matematikai méret 22 képpont egyenes x négyzet az egyenes felett b négyzet plusz egyenes y négyzet az egyenes felett a négyzet egyenlő a stílus 1 végével

Az ellipszis redukált egyenlete a koordinátatengelyekkel párhuzamos tengelyekkel

egy pontot figyelembe véve egyenes Bal zárójel egyenes x 0 alsó indexgel vessző egyenes szóköz y 0 alsó index jobb zárójel mint a Descartes-rendszer eredete és egy pont egyenes C bal zárójel egyenes x 0 alsó indexgel vessző egyenes szóköz y 0 alsó index jobb zárójel mint az ellipszis középpontja.

AA nagytengely, párhuzamos az x tengellyel.

kezdőstílus matematikai méret 22 képpont bal zárójel egyenes x mínusz egyenes x 0 alsó index jobb zárójel négyzetben az egyenes felett ao négyzet plusz bal zárójel egyenes y mínusz egyenes y 0 alsó indexgel jobb zárójel négyzet az egyenes felett b négyzet egyenlő az 1 végével stílus

AA nagytengely, párhuzamos az y tengellyel.

Túlzás

A hiperbola olyan pontok halmaza egy síkon, ahol két fix pont F1 és F2 különbsége állandó, pozitív értéket ad.

A hiperbola elemei:

Az F1 és F2 a hiperbola fókuszai.
2c = a gyújtótávolság.
A hiperbola középpontja a pont ó, F1F2 szegmens átlaga.
A1 és A2 a csúcsok.
2a = A1A2 a valós vagy keresztirányú tengely.
2b = B1B2 a képzeletbeli vagy konjugált tengely.
az excentricitás.

A B1OA2 háromszögön keresztül

egyenes c négyzet egyenlő egyenes a négyzet plusz egyenes b négyzet

Hiperbola redukált egyenlet

Valós tengellyel az x tengely körül és az origó középpontjában.
kezdési stílus matematikai méret 22 képpont egyenes x négyzet az egyenes felett a négyzet mínusz egyenes y négyzet az egyenes felett b négyzet egyenlő a stílus 1 végével

Valós tengellyel az y tengelyen és középponttal az origóban.

Hiperbola egyenlet koordinátatengelyekkel párhuzamos tengelyekkel

AA valós tengely párhuzamos az x tengellyel és a középponttal egyenes C bal zárójel egyenes x 0 alsó indexgel egyenes vessző y 0 alsó index jobb zárójel .

Az AA valós tengely párhuzamos az y tengellyel és a középponttal egyenes C bal zárójel egyenes x 0 alsó indexgel egyenes vessző y 0 alsó index jobb zárójel .

kezdési stílus matematikai méret 22 képpont bal zárójel egyenes y mínusz egyenes y 0 alsó index jobb zárójel négyzetben az egyenes ao felett négyzet mínusz bal zárójel egyenes x mínusz egyenes x 0 alsó indexű jobb zárójel négyzet az egyenes felett b négyzet egyenlő az 1 végével stílus

Példázat

A parabola az a hely, ahol a P(x, y) pontok halmaza azonos távolságra van egy fix F ponttól és egy d egyenestől.

A példázat elemei:

F a példázat középpontja;
d az egyenes irányvonal;
A szimmetria tengelye az F fókuszon áthaladó egyenes vonal, amely merőleges a vezérvonalra.
V a parabola csúcsa.
p az azonos hosszúságú szakasz az F fókusz és a V e csúcs között, a csúcs és a d direktíva között.