A két pont közötti távolság az őket összekötő vonalszakasz mértéke.
Ezt a mértéket az analitikai geometria segítségével számíthatjuk ki.
A sík két pontja közötti távolság
A síkban egy pont teljesen meghatározva egy hozzá rendezett pár (x, y) ismeretében.
Két pont távolságának megismerése érdekében eleinte ábrázoljuk őket a derékszögű síkban, majd kiszámoljuk ezt a távolságot.
Példák:
1) Mekkora a távolság az A pont (1.1) és a B pont (3.1) között?
d (A, B) = 3 - 1 = 2
2) Mekkora a távolság az A pont (4.1) és a B pont (1,3) között?
Ne feledje, hogy az A és a B pont távolsága megegyezik a derékszögű háromszög hipotenuszával a 2. és a 3. lábbal.
Tehát használjuk a Pitagorasz tétel az adott pontok közötti távolság kiszámításához.
[hangyányi)]2 = 32 + 22 = √13
A sík két pontja közötti távolság képlete
A távolságképlet megtalálásához általánosíthatjuk a 2. példában elvégzett számítást.
Bármely két pontra, például A (x1yy1) és B (x2y2), nekünk van:
Ha többet szeretne megtudni, olvassa el még:
- síkmértan
- Derékszögű terv
- egyenes
A tér két pontja közötti távolság
Háromdimenziós koordinátarendszert használunk a térbeli pontok ábrázolására.
Egy pont akkor van teljesen meghatározva a térben, ha rendezett hármas (x, y, z) társul hozzá.
A tér két pontja közötti távolság megtalálásához eleinte ábrázolhatjuk őket a koordináta-rendszerben, és onnan elvégezhetjük a számításokat.
Példa:
Mekkora a távolság az A pont (3,1,0) és a B pont (1,2,0) között?
Ebben a példában azt látjuk, hogy az A és B pont az xy síkhoz tartozik.
A távolságot az alábbiak adják meg:
[hangyányi)]2 = 12 + 22 = √5
A tér két pontja közötti távolság képlete
Ha többet szeretne megtudni, olvassa el még:
- Térgeometria
- Vonalegyenlet
- Matematikai képletek
Megoldott gyakorlatok
1) Az A pont az abszcissza tengelyhez (x tengely) tartozik, és egyenlő távolságra van a B (3.2) és a C (-3.4) ponttól. Melyek az A pont koordinátái?
Mivel az A pont az abszcissza tengelyhez tartozik, akkor koordinátája (a, 0). Meg kell tehát találnunk az a értékét.
(0 - 3)2 + (2-ig)2 = (0 + 3)2 + (-4-ig)2
9 + - ig2 - 4a +4 = 9 + a2 - 8. + 16
4. = 12
a = 3
(3.0) az A pont koordinátái.
2) Az A (3, a) és a B (0,2) pont közötti távolság egyenlő 3-mal. Számítsa ki az a ordináta értéket.
32 = (0 - 3)2 + (2 - a)2
9 = 9 + 4 - 4a + a2
A2 - 4. +4 = 0
a = 2
3) ENEM - 2013
Az elmúlt években a televíziózás valóságos forradalomon ment keresztül a képminőség, a hang és a nézővel való interaktivitás szempontjából. Ez az átalakulás annak köszönhető, hogy az analóg jel átalakult digitális jellé. Sok város azonban még mindig nem rendelkezik ezzel az új technológiával. Ezeknek az előnyöknek a három városban történő elérése érdekében egy televízió egy új adótornyot kíván építeni, amely jelet küld az A, B és C antennáknak, amelyek már léteznek ezekben a városokban. Az antennák helyei a derékszögű síkon vannak ábrázolva:
A tornyot a három antennától egyenlő távolságra kell elhelyezni. A torony építésének megfelelő helye megfelel a koordinátapontnak
a) (65; 35)
b) (53; 30)
c) (45); 35)
d) (50; 20)
e) (50; 30)
Helyes e alternatíva: (50; 30)
Lásd még: távolság két pont gyakorlatok között
4) ENEM - 2011
Egy város szomszédságát egy sík régióban tervezték, párhuzamos és merőleges utcákkal, azonos méretű tömbökkel. A következő derékszögű koordinátasíkban ez a szomszédság a második negyedben helyezkedik el, a távolságok pedig a
a tengelyeket kilométerben adják meg.
Az y = x + 4 egyenlet egyenes vonala a város szomszédságát és a város többi régióját keresztező metró metróvonalának nyomvonalát tervezi.
A P = (-5,5) pontban egy állami kórház található. A közösség felkérte a tervbizottságot, hogy tervezzen meg egy metróállomást, hogy annak egyenes vonalban mért távolsága a kórházig ne legyen nagyobb, mint 5 km.
A bizottság a közösségi kérésre válaszul helyesen érvelt azzal, hogy ez automatikusan teljesül, mivel a helyszínen már állomás volt egy állomás megépítése.
a) (-5,0)
b) (-3,1)
c) (-2,1)
d) (0,4)
e) (2.6)
Helyes b alternatíva: (-3.1).
Lásd még: gyakorlatok az analitikai geometriáról
