A hatszög egy hatoldalú, hat csúcsú sokszög, tehát hat szöge van. A hatszög lapos figura, kétdimenziós, zárt és egyszerű sokszögű vonal alkotja, amely nem metszi egymást.
A hatszög hat oldala egyenes vonalak, amelyeket egymás után a belső régiót határoló csúcsok kötnek össze.
A hatszög számos képződményben jelenik meg a természetben, például méhkasokban, jégkristályokban vagy akár a szén- és más atomok szerkezetének szerves kémiájában.
Az építészetben és a mérnöki munkában a hatszögeket szerkezeti és díszítőelemként, csavarokban és kulcsokban használják utak és egyéb közművek burkolására.
A hatszög szó a görög nyelvből származik, ahol a hex a hatos számra, a gonia pedig a szögre utal. Tehát egy hatszögű figura.
A hatszögek elemei
A, B, C, D, E és F a hatszög csúcsai.
a szegmenseket a hatszög oldalai.
a belső szögek.
a külső szögek.
d az átlók.
A hatszögek típusai
A hatszögeket oldalaik és szögeik szerint szabályos és szabálytalan, konvex és nem konvex kategóriába sorolják.
Szabálytalan hatszögek
A szabálytalan hatszögeknek különböző méretű oldalaik és szögei vannak. Két csoportra oszthatók: konvex és nem konvex.
Konvex szabálytalanok
A konvex hatszögeknél az átlók minden pontja a sokszög területén van, és egyik szög sem nagyobb 180°-nál.
Nem konvex szabálytalanok
A nem domború hatszögekben vannak olyan átlók, amelyeknek a sokszög területén kívüli pontjaik vannak, és amelyek szöge nagyobb, mint 180°.
szabályos hatszögek
A szabályos hatszögeknek hat oldala és egyforma szöge van, tehát egyenlő oldalú és egyenlőszögű.
Minden szabályos hatszög domború, mivel egyetlen átló sem halad át a sokszögön.
A szabályos hatszög hat egyenlő oldalú háromszög összetétele.
Az egyenlő oldalú háromszögek azok, amelyeknek mindhárom oldala és szöge ugyanaz.
szabályos hatszög terület
A hatszög területét a következő képlettel számítjuk ki:
Mivel L a hatszög oldalának mértéke, a terület csak L-től függ.
Bővebben itt: hatszög terület.
Szabályos hatszög kerülete
A hatszög kerülete az oldal mértéke szorozva hattal.
Hexagon Apothem
A Hexagon Apothema egy olyan szakasz, amely az egyik oldal felezőpontját köti össze a hatszög középpontjával.
A szabályos hatszög apotémáját a következőképpen számítjuk ki:
Szabályos hatszögek belső szögei
Egy szabályos hatszög belső szögeinek mérete 120°.
Belső szögeik összege 720°.
120° x 6 = 720°
Szabályos hatszögek külső szögei
Egy szabályos hatszög külső szögeinek mérete 60°.
A szabályos sokszög külső szögeinek mérési képlete a következő:
Ahol a külső szögek mértéke, n pedig az oldalak száma.
Ha n=6 a hatszögekben, akkor:
A külső szögek mérésének másik módja a belső és külső szögek párja, mivel ezek 180°-ot adnak, kiegészítve.
Mivel a belső szög 120°, csak vonja ki, hogy meghatározza, hány fok van hátra a 180°-ig.
180° - 120° = 60°
átlók száma
A hatszögnek 9 átlója van.
Kétféleképpen lehet meghatározni az átlók számát:
1. mód - számolás.
2. út - a sokszög átlóinak képletén keresztül.
Ahol n a sokszög oldalainak száma. Ha n = 6 a hatszögben, akkor:
Körbe írt hatszög
A körbe írt hatszög a kör belsejében van, csúcsai pedig a körön vannak.
Mivel az ábrán látható AOB háromszög egyenlő oldalú, a kör sugarának és a hatszög oldalának a mérete egyenlő.
Körre körülírt hatszög
A hatszög akkor van körbeírva, ha a kör a hatszög belsejében van.
A kerület érintője a hatszög oldalaihoz.
A kör sugara megegyezik a hatszög apotémájával. Csere, nálunk van:
Azután
csempézés
A csempézés vagy tesszelláció egy felület geometriai alakzatokkal való borításának gyakorlata.
A szabályos hatszögek azon kevés sokszögek közé tartoznak, amelyek teljesen kitöltik a felületet.
Ahhoz, hogy egy szabályos sokszög képes legyen csempézni, azaz hézagok nélkül kitölteni egy felületet, a következő geometriai feltételnek kell teljesülnie:
Egy szabályos hatszög belső szögei 120°-osak. A hatszögletű burkolólapozásnál azt látjuk, hogy három hatszög találkozik egy csúcsban. Így a következőkkel rendelkezünk:
120° + 120° + 120° = 360°
1. Feladat
(Enem 2021) Egy diák, Contagem város lakója hallotta, hogy ebben a városban vannak utcák, amelyek szabályos hatszöget alkotnak. Egy térképes oldalon keresgélve megállapította, hogy a tény igaz, ahogy az az ábrán is látható.
Elérhető: www.google.com. Hozzáférés dátuma: december 7. 2017 (kiigazított).
Megjegyezte, hogy a számítógép képernyőjén megjelenő térkép 1:20 000 méretarányú. Ebben a pillanatban megmérte az egyik szegmens hosszát, amely ennek a hatszögnek az oldalait alkotja, és 5 cm-t talált.
Ha ez a tanuló úgy dönt, hogy teljesen körbejárja a hatszöget alkotó utcákat, akkor kilométerben utazik,
1-hez.
b) 4.
c) 6.
d) 20.
e) 24.
Helyes válasz: c) 6.
A hatszög kerülete:
P = 6.L
Mivel az oldal mérete 5 cm, akkor P = 6,5 = 30 cm
A méretarány szerint a térképen minden 1 cm a valós mérésben 20 000 cm-nek felel meg.
Mivel a pálya 30 cm lesz, a következőket kínáljuk:
30 x 20 000 = 600 000 cm
Km-re való átalakításához elosztjuk 100 000-rel.
600 000 / 100 000 = 6
Ezért a tanuló 6 km-t fog megtenni.
2. gyakorlat
(EEAR 2013) Legyen szabályos hatszög és egyenlő oldalú háromszög mindkét l oldalon. A hatszög és a háromszög apotémáinak aránya:
a) 4.
b) 3.
c) 2.
d) 1.
Helyes válasz: b) 3.
A hatszög apotémája a következő:
A háromszög apotémája a következő:
A hatszög és a háromszög apotémái közötti arány:
Az arány egyenlő 3-mal.
3. gyakorlat
(CBM-PR 2010) Tekintsünk egy szabályos hatszög alakú közlekedési táblát 1 centiméteres oldalakkal. Ismeretes, hogy egy szabályos l-oldalú hatszög hat l-oldalú egyenlő oldalú háromszögből áll. Mivel ennek a jelnek (tábla) leolvasása a jel A területétől függ, így az A-t az l hosszúság függvényében a következő képlet adja:
Az)
B)
ç)
d)
és)
Helyes válasz: b)
Egy egyenlő oldalú háromszög területe egyenlő
A hatszög esetében az alap egyenlő az oldallal, ezért cseréljük ki b-t L-re.
A háromszög magassága megegyezik a hatszög apotémével, és a Pitagorasz-tétellel határozható meg.
Visszatérve a háromszög képlethez.
Mivel a hatszög területe hat háromszöggel egyenlő, az általunk kiszámított területet megszorozzuk hattal.
Mivel a lemez mérete centiméterben van, a terület cm²-ben lesz mérve.
Ilyen módon a következőkkel rendelkezünk:
érdekelheti
- Sokszögek
- Gyakorlatok sokszögekre
