Két, ugyanazon síkban elhelyezkedő, különálló vonal egyidejű, ha egyetlen közös pontjuk van.
Az egyidejű vonalak 4 szöget képeznek egymással, és ezeknek a szögeknek a mérései szerint lehetnek merőlegesek vagy ferdeek.
Ha az általuk képzett 4 szög egyenlő 90 ° -kal, akkor merőlegesnek nevezzük őket.
A vonalak alatti ábrán r és s merőlegesek.
Ha a kialakult szögek eltérnek a 90 ° -tól, ferde versenyzőknek nevezzük őket. Az alábbi ábrán a vonalakat ábrázoljuk u és v ferde.
Versenyző, egybeeső és párhuzamos vonalak
Két ugyanazon síkhoz tartozó egyenes lehet egyidejű, egybeeső vagy párhuzamos.
Míg az egyidejű vonalaknak egyetlen metszéspontja van, az egybeeső vonalaknak legalább két közös pontja és a párhuzamos vonalak nincsenek közös pontjaik.
Két egyenes relatív helyzete
Két vonal egyenleteinek ismeretében ellenőrizhetjük egymás relatív helyzetét. Ehhez meg kell oldanunk azt a rendszert, amelyet a két vonal egyenletei alkotnak. Tehát:
- Egyidejű vonalak: a rendszer lehetséges és meghatározható (egyetlen pont közös).
- Egybeeső vonalak: a rendszer lehetséges és meghatározott (végtelen pont közös).
- Párhuzamos vonalak: a rendszer lehetetlen (nincsenek közös pontok).
Példa:
Határozza meg az r: x - 2y - 5 = 0 és az s egyenes: 2x - 4y - 2 = 0 relatív helyzetét.
Megoldás:
Az adott vonalak közötti relatív helyzet megtalálásához ki kell számolnunk a vonalaikkal képzett egyenletrendszert, így:
Ha a rendszert összeadással oldjuk meg, a következő egyenletet találjuk 0y = - 8, mivel erre az egyenletre nincs megoldás, lehetetlen. Ily módon a két vonal párhuzamos.
A Vertex ellentétes szögei
Két versengő vonal két párot alkot szögek. Ezeknek a szögeknek van egy közös pontjuk, amelyet csúcsnak nevezünk.
A csúcs által ellentétes szögpárok egybevágnak, vagyis azonos a mérésük.
Az alábbi ábrán az AÔB és CÔD szögeket ábrázoljuk, amelyek a csúccsal ellentétesek, valamint az AÔC és BÔD szögeket.
Metszéspont két egyidejű egyenes között
Két egyidejű vonal metszéspontja a két vonal egyenleteihez tartozik. Ily módon közösen megtalálhatjuk ennek a pontnak a koordinátáit, megoldva e vonalak egyenletei által alkotott rendszert.
Példa:
Határozza meg a vonalak közös P pontjának koordinátáit r és s, amelynek egyenletei x + 3y + 4 = 0, illetve 2x - 5y - 2 = 0.
Megoldás:
A pont koordinátáinak megtalálásához meg kell oldanunk a rendszert a megadott egyenletekkel. Tehát:
A rendszer megoldása:
Ezt az értéket behelyettesítve az első egyenletbe a következőket találjuk:
Ezért a metszéspont koordinátái azaz
.
További információ:
- Merőleges vonalak
- egyenes
- Kúpos
Megoldott gyakorlatok
1) Ortogonális tengelyrendszerben - 2x + y + 5 = 0 és 2x + 5y - 11 = 0 az r és s egyenesek egyenlete. Keresse meg az r és s metszéspontjának koordinátáit.
P (3, 1)
2) Melyek a háromszög csúcsainak koordinátái, tudván, hogy oldalainak támaszvonalainak egyenletei - x + 4y - 3 = 0, - 2x + y + 8 = 0 és 3x + 2y - 5 = 0 ?
A (3, - 2)
B (1, 1)
C (5, 2)
3) Határozza meg az r egyenesek relatív helyzetét: 3x - y -10 = 0 és 2x + 5y - 1 = 0.
Az egyenesek egyidejűek, a metszéspont (3, - 1).
