A vonal egyenlete úgy határozható meg, hogy felrajzoljuk a derékszögű síkra (x, y). Az egyeneshez tartozó két különálló pont koordinátáinak ismeretében meghatározhatjuk annak egyenletét.
Meghatározható az egyenes egyenlete a hajlása és a hozzá tartozó pont koordinátái alapján is.
a vonal általános egyenlete
Két pont határoz meg egy vonalat. Ily módon megtalálhatjuk a vonal általános egyenletét úgy, hogy két pontot egy vonalba állítunk egy általános ponttal (x, y).
Legyen az A (xAyyA) és B (xByyB), nem véletlen és a derékszögű tervhez tartozik.
Három pont igazodik, ha az ezekhez a pontokhoz tartozó mátrix determinánsa nulla. Tehát ki kell számolnunk a következő mátrix determinánsát:
A determináns kifejlesztésével a következő egyenletet találjuk:
(yA -yB) x + (xB - xA) y + xAyB - xByA = 0
Hívjuk:
a = (yA -yB)
b = (xB - xA)
c = xAyB - xByA
Az egyenes általános egyenlete a következő:
ax + által + c = 0
Hol A, B és ç állandóak és A és B nem lehetnek egyszerre semlegesek.
Példa
Keresse meg az A (-1, 8) és B (-5, -1) pontokon áthaladó egyenes általános egyenletét.
Először meg kell írnunk a hárompontos beállítási feltételt, meghatározva az adott pontokkal társított mátrixot és a vonalhoz tartozó általános P (x, y) pontot.
A meghatározó kifejlesztésével a következőket találjuk:
(8 + 1) x + (1-5) y + 40 + 1 = 0
Az A (-1,8) és B (-5, -1) pontokon áthaladó egyenes általános egyenlete:
9x - 4y + 41 = 0
Ha többet szeretne megtudni, olvassa el még:
- Központ
- döntő
- Laplace-tétel
Vonal redukált egyenlet
Szögegyüttható
Megtalálhatjuk a vonal egyenletét r ismerve annak dőlését (irányát), vagyis annak a θ szögnek az értékét, amelyet a vonal az x tengelyhez viszonyítva mutat be.
Ehhez társítunk egy számot m, amelyet a vonal meredekségének nevezünk, oly módon, hogy:
m = tg θ
a lejtő m két egyeneshez tartozó pont ismeretében is megtalálható.
Mivel m = tg θ, akkor:
Példa
Határozza meg az r egyenes meredekségét, amely áthalad az A (1,4) és a B (2,3) ponton.
Lény,
x1 = 1 és y1 = 4
x2 = 2 és y2 = 3
A vonal szögegyütthatójának ismerete m és egy P pont0(x0yy0) hozzá tartozó egyenletét definiálhatjuk.
Ehhez az ismert P pontot helyettesítjük a lejtőképletben.0 és egy általános P (x, y) pont, amely szintén a vonalhoz tartozik:
Példa
Határozzuk meg az A (2,4) ponton áthaladó és a 3. lejtésű egyenletet!
A vonal egyenletének megtalálásához egyszerűen cserélje le a megadott értékeket:
y - 4 = 3 (x - 2)
y - 4 = 3x - 6
-3x + y + 2 = 0
lineáris együttható
a lineáris együttható nem egyenes r az a pont, ahol a vonal metszi az y tengelyt, vagyis a P (0, n) koordináták pontja.
Ezt a pontot használva:
y - n = m (x - 0)
y = mx + n (Csökkentett egyenlet).
Példa
Annak tudatában, hogy az r egyenes egyenletét y = x + 5 adja meg, azonosítsa lejtését, meredekségét és azt a pontot, ahol a vonal metszi az y tengelyt.
Mivel a vonal redukált egyenlete megvan, akkor:
m = 1
Ahol m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
Az egyenes és az y tengely metszéspontja a P (0, n) pont, ahol n = 5, akkor a pont P (0,5) lesz
Olvasd el te is A meredekség kiszámítása
Vonalszakasz-egyenlet
Kiszámíthatjuk a meredekséget az A (a, 0) pont segítségével, amely szerint az egyenes metszi az x tengelyt, és a B (0, b) pont, amely metszi az y tengelyt:
Figyelembe véve n = b és csökkentett formában történő helyettesítést, a következők:
Ha minden tagot elosztunk ab-val, akkor megtaláljuk a vonal szakaszos egyenletét:
Példa
Írja meg szakaszos formában annak a vonalnak az egyenletét, amely áthalad az A ponton (5.0) és amelynek lejtése 2!
Először keressük meg a B (0, b) pontot, helyettesítve a lejtés kifejezésben:
Az egyenletben levő értékeket behelyettesítve megkapjuk a vonal szakaszos egyenletét:
Olvassa el a következőket is:
- Derékszögű terv
- Két pont távolsága
- kúpos
- egyenes
- Párhuzamos vonalak
- Merőleges vonalak
- Vonalszakasz
- Lineáris függvény
- Affine funkció
- Kapcsolódó funkciógyakorlatok
Megoldott gyakorlatok
1) Adva azt a vonalat, amelynek egyenlete 2x + 4y = 9, határozza meg annak meredekségét.
4y = - 2x + 9
y = - 2/4 x + 9/4
y = - 1/2 x + 9/4
Ezért m = - 1/2
2) Írja redukált formában a 3x + 9y - 36 = 0 egyenes egyenletét!
y = -1/3 x + 4
3) ENEM - 2016
A tudományos vásár számára két rakéta lövedéket, az A és a B-t építik, hogy elinduljanak. A terv az, hogy együtt induljanak, azzal a céllal, hogy a B lövedék elfogja A-t, amikor eléri a legnagyobb magasságot. Ahhoz, hogy ez megtörténjen, az egyik lövedék parabolikus pályát ír le, míg a másik egy állítólag egyenes pályát. A grafikon mutatja a lövedékek által elért magasságokat az idő függvényében, az elvégzett szimulációk során.
Ezen szimulációk alapján megfigyelték, hogy a B lövedék pályáját úgy kell megváltoztatni, hogy a
célkitűzés megvalósult.
A cél eléréséhez meg kell adni a B pályáját képviselő vonal szögegyütthatóját
a) 2 egységgel csökken.
b) 4 egységgel csökken.
c) 2 egységgel növekszik.
d) növelje 4 egységgel.
e) 8 egységgel növekszik.
Először meg kell találnunk a B egyenes meredekségének kezdeti értékét.
Emlékezve arra, hogy m = tg Ɵ, megvan:
m1 = 12/6 = 2
Az A pálya maximális magassági pontján való áthaladáshoz a B vonal meredekségének a következő értékkel kell rendelkeznie:
m2 = 16/4 = 4
Így a B vonal meredekségének 2-ről 4-re kell váltania, majd 2 egységgel megnő.
C alternatíva: növelje 2 egységet
Lásd még: Gyakorlatok az analitikai geometriáról
