O Pitagorasz tétel felsorolja a derékszögű háromszög oldalainak hosszát. Ezt a geometriai ábrát egy 90 ° -os belső szög alkotja, amelyet derékszögnek nevezünk.
Ennek a tételnek a megállapítása a következő:
"A lábad négyzetének összege megegyezik a hipotenuszod négyzetével."
Pythagoras-tétel képlete
A Pitagorasz-tétel állítása szerint a képlet a következőképpen jelenik meg:
A2 = b2 + c2
Lény,
A: hipotenúz
B: cateto
ç: cateto
A átfogó a derékszögű háromszög leghosszabb oldala és a derékszöggel szemközti oldal. A másik két oldal a lábak. A két oldal által alkotott szög mértéke 90 ° (derékszög).
A lábakat is azonosítottuk, egy referenciaszög szerint. Vagyis az oldalt nevezhetjük szomszédos vagy ellentétes oldalnak.
Ha a láb közel van a referenciaszöghez, akkor a szomszédos, másrészt, ha ez a szög ellentétes, akkor hívják szemben.
Az alábbiakban bemutatunk három példát a Pitagorasz-tétel alkalmazására egy derékszögű háromszög metrikus viszonyaihoz.
1. példa: számítsa ki a hipotenusz mértékét
Ha egy derékszögű háromszögnek 3 és 4 cm a lábmérete, akkor mi ennek a háromszögnek a hipotenusa?
Ezért a derékszögű háromszög oldalai 3 cm, 4 cm és 5 cm.
2. példa: számítsa ki az egyik láb méretét
Határozza meg annak a lábnak a méretét, amely egy derékszögű háromszög része, amelynek hipotenúza 20 cm, a másik lába pedig 16 cm.
Ezért a derékszögű háromszög oldalainak mérete 12 cm, 16 cm és 20 cm.
3. példa: ellenőrizze, hogy egy háromszög téglalap-e
Egy háromszög oldalai 5 cm, 12 cm és 13 cm méretűek. Honnan lehet tudni, hogy derékszögű háromszög-e?
Annak igazolására, hogy a derékszögű háromszög igaz, az oldalainak méréseinek meg kell felelniük a Pitagorasz-tételnek.
Mivel a megadott mértékek megfelelnek Pythagoras tételének, vagyis a hipotenúz négyzete megegyezik a lábak négyzetének összegével, akkor azt mondhatjuk, hogy a háromszög téglalap.
Olvassa el: Metrikus kapcsolatok a téglalap háromszögben
Pitagoraszi háromszög
Amikor megméri a derékszögű háromszög pozitív egész számok, a háromszöget Pitagorasz háromszögnek nevezzük.
Ebben az esetben a lábakat és a hipotenuszokat „Pitagorai öltönynek” vagy „Pitagorai triónak” nevezik. Annak ellenőrzésére, hogy három szám alkot-e Pitagorasz triót, a (z) relációt használjuk2 = b2 + c2.
A legismertebb pitagorai triót a következő számok képviselik: 3, 4, 5. A hipotenusz egyenlő 5-gyel, a nagyobbik láb 4-vel, a kisebbik pedig 3-mal.
Vegye figyelembe, hogy a háromszög mindkét oldalán rajzolt négyzetek területe hasonló, mint a Pythagoras tétel: a négyzet területe a hosszú oldalon megegyezik a másik két területének összegével négyzet.
Érdekes módon ezeknek a számoknak a többszöröse Pitagorasz-peret is alkot. Például, ha a 3, 4 és 5 triót megszorozzuk 3-mal, megkapjuk a 9, 12 és 15 számokat, amelyek szintén Pitagorasz-peret alkotnak.
A 3., 4. és 5. öltöny mellett számos más öltöny is létezik. Példaként megemlíthetjük:
- 5., 12. és 13.
- 7, 24, 25
- 20, 21 és 29
- 12, 35 és 37
Olvassa el: Trigonometria a téglalap háromszögben
Ki volt Pythagoras?
a történelem szerint Szamoszi Pitagorasz (570 a. Ç. - 495 a. C.) görög filozófus és matematikus volt, aki megalapította a Dél-Olaszországban található Pitagorasz-iskolát. A Pitagorai Társaságnak is nevezik, matematika, csillagászat és zene tanulmányokat tartalmazott.
Bár a derékszögű háromszög metrikus viszonyai már a babiloniak számára is ismertek voltak, akik jóval Pythagoras előtt éltek, az első bizonyíték arra, hogy ezt a tételt bármely derékszögű háromszögre alkalmazták, vélhetően az Pythagoras.
A Pitagorasz-tétel az egyik legismertebb, legfontosabb és használt tétel a matematikában. Elengedhetetlen az analitikai geometria, a síkgeometria, a térgeometria és a trigonometria problémáinak megoldásában.
A tétel mellett a Pitagorai Matematikai Társaság további fontos hozzájárulásai a következők voltak:
- Irracionális számok felfedezése;
- Egész számok tulajdonságai;
- MMC és MDC.
Olvassa el: Matematikai képletek
A Pitagorasz-tétel bizonyítékai
Pythagoras tételének bizonyítására többféle módszer létezik. Például a könyv A Pitagoraszi javaslat, amely 1927-ben jelent meg, 230 módszert mutatott be ennek bemutatására, és egy másik, 1940-ben kiadott kiadás 370 demonstrációra nőtt.
Nézze meg az alábbi videót, és nézzen meg néhány példát a Pitagorasz-tételről.
Megjegyzett gyakorlatok a Pitagorasz-tételhez
1. kérdés
(PUC) A derékszögű háromszög három oldalának négyzete összege 32. Meddig van a háromszög hipotenúza?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
Helyes alternatíva: b) 4.
A nyilatkozatban szereplő információk alapján tudjuk, hogy a2 + b2 + c2 = 32. Másrészt a Pythagoras-tétel szerint muszáj2 = b2 + c2 .
B értékének cseréje2+ c2 valami által2 az első kifejezésben a következőket találjuk:
A2 + a2 =32 ⇒ 2. A2 = 32 ⇒-ig2 = 32/2 ⇒ to2 = 16 ⇒ a = √ 16
a = 4
További kérdések: Pitagorasz-tétel - Gyakorlatok
2. kérdés
(És akár)
A fenti ábrán, amely 5 azonos magasságú lépcső kialakítását ábrázolja, a korlát teljes hossza megegyezik:
a) 1,9 m
b) 2,1 m
c) 2,0 m
d) 1,8 m
e) 2,2 m
Helyes alternatíva: b) 2,1 m.
A kapaszkodó teljes hossza megegyezik a két 30 cm hosszú szakasz összegével annak a szakasznak, amelynek a mértékét nem ismerjük.
Az ábrán megfigyelhetjük, hogy az ismeretlen szakasz egy derékszögű háromszög hipotenuszát ábrázolja, amelynek egyik lábának mérete 90 cm.
A másik láb mérésének megtalálásához hozzá kell adnunk az 5 lépés hosszát. Ezért van b = 5. 24 = 120 cm.
A hipotenusz kiszámításához alkalmazzuk Pythagoras tételét erre a háromszögre.
A2 = 902 + 1202 nak nek2 = 8100 + 14 400 ⇒ to2 = 22 500 ⇒ a = √ 22 500 = 150 cm
Megjegyezzük, hogy felhasználhattuk a pitagorai öltönyök ötletét a hipotenúz kiszámításához, mivel a lábak (90 és 120) a 3, 4 és 5 öltözet többszörösei (megszorozva az összes kifejezést 30-mal).
Ily módon a kapaszkodó teljes mérete a következő lesz:
30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m
Tesztelje tudását Trigonometriai gyakorlatok
3. kérdés
(UERJ) Millôr Fernandes a matematika előtt tisztelegve írt egy verset, amelyből kivontuk az alábbi töredéket:
A matematika könyv ennyi lapjára,
egy idézőnő egy napon vadul beleszeretett
egy Ismeretlen által.
Számtalan tekintetével ránézett
és csúcstól talpig látta: furcsa alak;
rombusz alakú szemek, trapéz száj,
téglalap alakú test, gömb alakú mell.
Párhuzamosan csinálta az életét az övével,
amíg a Végtelenben nem találkoztak.
"Ki vagy te?" - kérdezte radikális szorongással.
- A lábak négyzetének összege vagyok.
De hívhatsz hipotenusznak.”
(Millôr Fernandes. Harminc év magam.)
Incognita tévedett, amikor megmondta, ki az. A Pythagoras-tétel teljesítéséhez a következőket kell elvégezni
a) „A lábak összegének négyzete vagyok. De hívjon a hipotenusz négyzetnek.
b) „A lábak összege vagyok. De hívhatsz hipotenusznak.
c) „A lábak összegének négyzete vagyok. De hívhatsz hipotenusznak.
d) „A lábak négyzetének összege vagyok. De hívjon a hipotenusz négyzetnek.
D) alternatíva: „A lábak négyzetének összege vagyok. De hívjon a hipotenusz négyzetnek.
Tudjon meg többet a témáról:
- egyenlő szárú háromszög
- Sine, Cosine és Tangent
- Matematika az Enem-ben
