D'Alembertov teorem neposredna je posljedica ostatka teorema koji se bavi dijeljenjem polinoma binomom tipa x - a. Teorem ostatka kaže da će polinom G (x) podijeljen sa binomom x - a imati ostatak R jednak P (a), za
x = a. Francuski matematičar D'Alembert dokazao je, uzimajući u obzir gore navedeni teorem, da je polinom bilo koji Q (x) bit će djeljiv s x - a, to jest, ostatak dijeljenja bit će jednak nuli (R = 0) ako je P (a) = 0.
Ovaj je teorem olakšao izračunavanje podjele polinoma s binomom (x –a), pa nije potrebno rješavati cijelu podjelu da bi se znalo je li ostatak jednak nuli ili različit od nje.
Primjer 1
Izračunaj ostatak od dijeljenja (x2 + 3x - 10): (x - 3).
Kao što D'Alembertov teorem kaže, ostatak (R) ove podjele bit će jednak:
P (3) = R
32 + 3 * 3 - 10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Tako će ostatak ove podjele biti 8.
Primjer 2
Provjerite je li x5 - 2x4 + x3 + x - 2 je djeljivo s x - 1.
Prema D’Alembertu, polinom je djeljiv binomom ako je P (a) = 0.
P (1) = (1)5 – 2*(1)4 + (1)3 + (1) – 2
P (1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2
P (1) = 3 - 4
P (1) = - 1
Budući da P (1) nije nula, polinom neće biti djeljiv sa binomom x - 1.
Primjer 3
Izračunaj vrijednost m tako da je ostatak od dijeljenja polinoma
P (x) = x4 - mx3 + 5x2 + x - 3 sa x - 2 je 6.
Imamo to, R = P (x) → R = P (2) → P (2) = 6
P (2) = 24 - m * 23 + 5*22 + 2 – 3
24 - m * 23 + 5*22 + 2 – 3 = 6
16 - 8m + 20 + 2 - 3 = 6
- 8m = 6 - 38 + 3
- 8m = 9 - 38
- 8m = - 29
m = 29/8
Primjer 4
Izračunaj ostatak od dijeljenja 3x polinoma3 + x2 - 6x + 7 puta 2x + 1.
R = P (x) → R = P (- 1/2)
R = 3 * (- 1/2)3 + (–1/2)2 – 6*(–1/2) + 7
R = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8
Ne zaustavljaj se sada... Ima još toga nakon oglašavanja;)
Marka Noe
Diplomirao matematiku
Brazilski školski tim
Polinomi - Matematika - Brazil škola
Želite li uputiti ovaj tekst u školskom ili akademskom radu? Izgled:
SILVA, Markos Noé Pedro da. "D'Alembertov teorem"; Brazil škola. Dostupno u: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm. Pristupljeno 29. lipnja 2021.
