Eulerova relacija: vrhovi, lica i bridovi

Eulerova relacija je jednakost koja povezuje broj vrhova, bridova i strana u konveksnim poliedrima. Kaže da je broj lica plus broj vrhova jednak broju bridova plus dva.

Eulerovu relaciju daje:

Gdje,
F je broj lica,
V broj vrhova,
THE broj rubova.

Možemo koristiti Eulerovu relaciju da odredimo ili potvrdimo nepoznate vrijednosti V, F ili A, kad god je poliedar konveksan.

Poliedar	F	V	THE	F+V	A + 2
Kocka	6	8	12	6 + 8 = 14	12 + 2 = 14
trokutasta piramida	4	4	6	4 + 4 = 8	6 + 2 = 8
Pentagonalna bazna prizma	7	10	15	7 + 10 = 17	15 + 2 = 17
pravilni oktaedar	8	6	12	8 + 6 = 14	12 + 2 = 14

Primjer
Konveksni poliedar ima 20 lica i 12 vrhova. Odredite broj rubova.

Koristeći Eulerovu relaciju i izolirati A:

Zamjena vrijednosti F i V:

Lica, vrhovi i rubovi

Poliedri su čvrsti, trodimenzionalni geometrijski oblici bez zaobljenih strana. Ove stranice su lica (F) poliedra.

Sastanak lica nazivamo bridovima (A).

Vrhovi su točke u kojima se susreću tri ili više bridova.

konveksni poliedri

Konveksni poliedri su geometrijska tijela koja nemaju konkavnost, stoga ni na jednom od njihovih strana nema unutarnjih kutova veći od 180º.

Konveksni poliedar: svi unutarnji kutovi lica manji od 180º.

Nekonveksni poliedar: ima barem jedan unutarnji kut veći od 180°.

U ovom poliedru unutarnji kut označen plavom bojom ima više od 180º, tako da nije konveksan poliedar.

Vidi više o poliedri.

Vježbe o Eulerovoj relaciji

Vježba 1

Pronađite broj lica u poliedru s 9 bridova i 6 vrhova.

vidi odgovor

Točan odgovor: 5 lica.

Koristeći Eulerovu relaciju:

F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
Ž = 11 - 6
F = 5

Vježba 2

Dodekaedar je platonsko tijelo s 12 strana. Znajući da ima 20 vrhova, odredite mu broj bridova.

vidi odgovor

Točan odgovor:

Koristeći Eulerovu relaciju:

F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = A
32 - 2 = A
30 = A

Vježba 3

Kako se zove poliedar s 4 vrha i 6 bridova u odnosu na broj strana, gdje su lica trokuti?

vidi odgovor

Odgovor: Tetraedar.

Moramo odrediti njegov broj lica.

F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
Ž = 8 - 4
F = 4

Poliedar koji ima 4 lica u obliku trokuta naziva se tetraedar.

Tko je bio Leonhard Paul Euler?

Leonhard Paul Euler (1707-1783) bio je jedan od najvještijih matematičara i fizičara u povijesti, kao i doprinos proučavanju astronomije. Švicarac njemačkog govornog područja, bio je profesor fizike na Sankt Peterburgskoj akademiji znanosti, a kasnije i na Berlinskoj akademiji. Objavio je nekoliko studija o matematici.

Također naučite:

• Geometrijska tijela
• Prostorna geometrija
• Geometrijski oblici
• Prizma - Geometrijski lik
• Piramida
• Kaldrma
• Kocka