Analitička geometrija proučava geometrijske elemente u koordinatnom sustavu u ravnini ili prostoru. Ovi geometrijski objekti određeni su njihovim položajem i položajem u odnosu na točke i osi ovog orijentacijskog sustava.
Od starih naroda, poput Egipćana i Rimljana, ideja o koordinatama već se pojavila u povijesti. No, u 17. stoljeću, s djelima Renéa Descartesa i Pierrea de Fermata, ovo područje matematike je sistematizirano.
Kartezijanski ortogonalni sustav
Ortogonalni kartezijanski sustav je referentna baza za lociranje koordinata. U ravnini ga čine dvije okomite osi jedna na drugu.
- O(0,0) ishodište ovog sustava je presjek ovih osi.
- Os x je apscisa.
- Os y je ordinata.
- Četiri kvadranta su u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
naručeni par
Bilo koja točka na ravnini ima koordinate P(x, y).
x je apscisa točke P i predstavlja udaljenost od njezine ortogonalne projekcije na os x do ishodišta.
y je ordinata točke P i udaljenost od njezine ortogonalne projekcije na os y do ishodišta.
udaljenost između dvije točke
Udaljenost između dviju točaka na kartezijskoj ravnini je duljina segmenta koji spaja te dvije točke.
Formula za udaljenost između dvije točke i
bilo koji.
Koordinate sredine
Srednja točka je točka koja dijeli segment na dva jednaka dijela.
Biće središnja točka segmenta
, njegove koordinate su aritmetičke sredine apscise i ordinate.
i
Uvjet poravnanja u tri točke
S obzirom na bodove: .
Ove tri točke će se poravnati ako je determinanta sljedeće matrice jednaka nuli.
Primjer
Kutni koeficijent linije
nagib ravne je tangenta njezina nagiba
s obzirom na x-os.
Za dobivanje nagiba iz dvije točke:
Ako je m > 0, linija je uzlazna, u suprotnom, ako je m < 0, linija je silazna.
opća jednadžba pravca
Gdje je,B i ç su konstantni realni brojevi i, The i B nisu istovremeno nula.
Primjer
Jednadžba linije koja poznaje točku i nagib
dao bod i nagib
.
Jednadžba linije bit će:
Primjer
Reducirani oblik ravne jednadžbe
Gdje:
m je nagib;
n je linearni koeficijent.
Ne je naređeno gdje pravac siječe os y.
Primjer
Izgled Jednadžba linije.
Relativni položaj između dvaju paralelnih pravaca u ravnini
Dvije različite linije su paralelne kada su im nagibi jednaki.
ako je ravno r ima nagib , i ravno s ima nagib
, oni su paralelni kada:
Za to vaše sklonosti moraju biti jednake.
Tangente su jednake kada su kutovi jednaki.
Relativni položaj između dvije konkurentske ravne linije u ravnini
Dvije linije su istodobne kada su im nagibi različiti.
Zauzvrat, nagibi se razlikuju kada su njihovi kutovi nagiba u odnosu na os x različiti.
okomite linije
Dva ostatka su okomita kada je umnožak njihovih nagiba jednak -1.
dvije ravne r i s, izrazito, s padinama i
, okomite ako, i samo ako:
ili
Drugi način da saznate jesu li dvije linije okomite je iz njihovih jednadžbi u općem obliku.
Jednadžbe pravih r i s su:
Dvije prave okomite na njega kada:
Izgled Okomite linije.
Opseg
Opseg je mjesto u ravnini gdje su sve točke P(x, y) iste udaljenosti r iz njegovog središta C(a, b), gdje je r je mjera polumjera.
Jednadžba opsega u reduciranom obliku
Gdje:
r je polumjer, udaljenost između bilo koje točke na vašem luku i središta. Ç.
The i B su koordinate centra Ç.
opća jednadžba kružnice
Dobiva se razvijanjem kvadrata članova reducirane jednadžbe opsega.
Vrlo je uobičajeno prikazati opći oblik jednadžbe obima u vježbama, također poznat kao normalni oblik.
stožast
Riječ konus dolazi od konusa i odnosi se na krivulje dobivene njegovim presjekom. Elipsa, hiperbola i parabola su krivulje koje se nazivaju konus.
Elipsa
Elipsa je zatvorena krivulja dobivena presjekom ravnog kružnog stošca ravninom kosom na os, koja ne prolazi kroz vrh i nije paralelna s njegovim generatricijama.
U ravnini, skup svih točaka čiji je zbroj udaljenosti do dvije unutarnje fiksne točke konstantan.
Elementi elipse:
- F1 i F2 su žarišta elipse;
- 2c je žarišna duljina elipse. To je udaljenost između F1 i F2;
- Točka O to je središte elipse. To je središnja točka između F1 i F2;
- A1 i A2 su vrhovi elipse;
- segmentu
velika os i jednaka 2a.
- segmentu
mala os jednaka je 2b.
- Ekscentričnost
gdje je 0 < i < 1.
Jednadžba reducirane elipse
Razmotrimo točku P(x, y) sadržanu u elipsi gdje je x apscisa, a y ordinata ove točke.
Središte elipse u ishodištu koordinatnog sustava i velika os (AA) na osi x.
Središte elipse u ishodištu koordinatnog sustava i velika os (AA) na osi y.
Reducirana jednadžba elipse s osama paralelnim s koordinatnim osi
s obzirom na točku kao ishodište kartezijanskog sustava i, točka
kao središte elipse.
Glavna os AA, paralelna s osi x.
Glavna os AA, paralelna s osi y.
Hiperbola
Hiperbola je skup točaka na ravnini gdje razlika između dvije fiksne točke F1 i F2 rezultira konstantnom pozitivnom vrijednošću.
Elementi hiperbole:
- F1 i F2 su žarišta hiperbole.
- 2c =
je žarišna duljina.
- Središte hiperbole je točka O, Prosjek segmenta F1F2.
- A1 i A2 su vrhovi.
- 2a = A1A2 je realna ili poprečna os.
- 2b = B1B2 je imaginarna ili konjugirana os.
-
je ekscentričnost.
Kroz trokut B1OA2
Hiperbola reducirana jednadžba
S realnom osi oko x osi i središtem u ishodištu.
S realnom osi na osi y i središtem u ishodištu.
Jednadžba hiperbole s osama paralelnim s koordinatnim osi
AA realna os paralelna s osi x i središtem .
Realna os AA paralelna s osi y i središtem .
Parabola
Parabola je mjesto gdje je skup točaka P(x, y) na istoj udaljenosti od fiksne točke F i pravca d.
Elementi prispodobe:
- F je fokus prispodobe;
- d je ravna smjernica;
- Os simetrije je ravna linija kroz fokus F i okomita na smjernicu.
- V je vrh parabole.
- p je segment iste duljine između fokusa F i vrha V e, između vrha i direktive d.
Reducirane jednadžbe parabole
S vrhom u ishodištu i osi simetrije na osi y.
Ako je p>0 konkavnost prema gore.
Ako je p<0 konkavnost prema dolje.
S vrhom na ishodištu i osi simetrije na osi x.
Ako je p>0 konkavnost udesno.
Ako je p<0 konkavnost lijevo.
S osi simetrije paralelnom s y osi i vrhom .
S osi simetrije paralelnom s osi x i vrhom .
vježbati s Vježbe iz analitičke geometrije.
Saznajte više na:
Kartezijanski plan
udaljenost između dvije točke
stožast
Izračun kutnog koeficijenta
