Zamislite da se igrate s klikerima kako biste formirali trokute. Prvo možete uzeti u obzir da je lopta poput malog trokuta:
•
Zatim stavite dva klikera ispod njih i formirate tri vrha a trokut:
•
• •
Ako stavite još tri kuglice ispod njih, formirat će još jedan trokut:
•
• •
• • •
U svakom koraku dodavanja loptica u odnosu na prethodno postavljenu količinu, uvijek će doći do formiranja trokuta. Pogledajte trokut nastao dodavanjem još četiri kuglice:
•
• •
• • •
• • • •
Ukupan broj loptica u svakom koraku karakterizira klasu brojeva koja se naziva trokutasti brojevi. Matematičar Karl Friedrich Gauss otkrio je formulu za označavanje ukupnog iznosa u svakom trokutu, gdje s1odgovara prvom trokutu, s2, na drugi trokut i tako dalje. Sume koje je opisao Gauss počele su s a i, u svakoj fazi, dodan je broj koji odgovara jednoj jedinici iznad posljednjeg dodanog broja:
s1 = 1
s2= 1 + 2 = 3
s3 = 1 + 2 + 3 = 6
s4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
s5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Rezultati tih zbroja bili su trokutasti brojevi: 1, 3, 6, 10, 15... Imajte na umu da postoji obrazac uspostavljen u svakom od ovih zbroja. Gledajući pažljivo, možemo vidjeti da je svaki od njih a
aritmetička progresija razloga 1. Dakle, ovdje je gausov zbroj, koji utvrđuje da ćemo, u zbroju konstantnog omjera, ako posljednjem dodamo prvi element, dobiti isti rezultat kao dodavanjem drugog elementa pretposljednjem. Pogledajmo kako se događa Gaussov zbroj proces za zbrojeve. s6 i s7:
Proces Gaussove sume primijenjen na zbroj trokutastih brojeva
Nemoj sada stati... Ima još toga nakon reklame ;)
ako stane s6 i s7 imamo zbrojeve sa gornje slike, reproducirajmo ovaj zbroj za s8, S9, S10 i s11:
s8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
s9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
s10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
s11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
Možemo generalizirati da dobijemo zbroj za sNe:
sNe = n. (n+1), ako je n paran
2
sNe = (n - 1).(n+1) + (n - 1) + 1, ako je n neparan
2 2
baš kao u magija brojeva, možemo pokazati još jednu zanimljivost o trokutastim brojevima: zbroj narednih trokutastih brojeva uvijek rezultira brojevima koji se mogu klasificirati kao savršeni kvadrati, odnosno brojevi koji imaju korijen kvadrat. Da vidimo:
s1 + S2 = 1 + 3 = 4
s2 + S3 = 3 + 6 = 9
s3 + S4 = 6 + 10 = 16
s4 + S5 = 10 + 15 = 25
s5 + S6 = 15 + 21 = 36
s6 + S7 = 21 + 28 = 49
s7 + S8 = 28 + 36 = 64
s8 + S9 = 36 + 45 = 81
s9 + S10 = 45 + 55 = 100
s10 + S11 = 55 + 66 = 121
Dobiveni rezultati, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 i 121, svi su savršeni kvadrati.
Autora Amanda Gonçalves
Diplomirao matematiku
Želite li referencirati ovaj tekst u školskom ili akademskom radu? Izgled:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Trokutni brojevi"; Brazilska škola. Dostupno u: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. Pristupljeno 27. srpnja 2021.
