Aritmetička progresija (P.A.)

THE Aritmetička progresija (P.A.) je niz brojeva gdje je razlika između dva uzastopna pojma uvijek ista. Ta se stalna razlika naziva P.A.

Dakle, od drugog elementa niza nadalje, brojevi koji se pojavljuju rezultat su zbroja konstante s vrijednošću prethodnog elementa.

To je ono što ga razlikuje od geometrijske progresije (PG), jer se u tome brojevi množe omjerom, dok se u aritmetičkoj progresiji dodaju.

Aritmetičke progresije mogu imati fiksni broj članaka (konačni P.A.) ili beskonačni broj članaka (beskonačni P.A.).

Da bismo naznačili da se niz nastavlja neograničeno, koristimo se elipsama, na primjer:

• slijed (4, 7, 10, 13, 16, ...) beskonačan je P.A.
• slijed (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) je konačni P.A.

Svaki pojam P.A. prepoznaje se prema položaju koji zauzima u nizu, a za predstavljanje svakog pojma koristimo slovo (obično slovo The) nakon čega slijedi broj koji označava njegov položaj u nizu.

Na primjer, pojam The₄ u P.A (2, 4, 6, 8, 10) je broj 8, jer je to broj koji zauzima 4. mjesto u nizu.

Klasifikacija P.A.

Prema vrijednosti omjera, aritmetičke progresije klasificiraju se na:

• Konstantno: kada je omjer jednak nuli. Na primjer: (4, 4, 4, 4, 4 ...), gdje je r = 0.
• Rastući: kada je omjer veći od nule. Na primjer: (2, 4, 6, 8,10 ...), gdje je r = 2.
• silazni: kada je omjer manji od nule (15, 10, 5, 0, - 5, ...), gdje je r = - 5

P.A. Svojstva

1. svojstvo:

U konačnom P.A. zbroj dvaju pojmova jednako udaljenih od krajnosti jednak je zbroju krajnosti.

Primjer

2. svojstvo:

Uzimajući u obzir tri uzastopna člana P.A., srednji će pojam biti jednak aritmetičkoj sredini ostala dva pojma.

Primjer

3. svojstvo:

U konačnom P.A. s neparnim brojem članaka, središnji će pojam biti jednak aritmetičkoj sredini između pojmova jednako udaljenih od njega. Ovo svojstvo proizlazi iz prvog.

Formula općeg pojma

Gdje,

an: pojam koji želimo izračunati
a1: prvi mandat P.A.
n: položaj pojma koji želimo otkriti
r: razlog

Objašnjenje formule

Kako je omjer P.A. konstantan, njegovu vrijednost možemo izračunati iz bilo kojeg uzastopnog izraza, to jest:

Stoga vrijednost drugog člana P.A. možemo pronaći na način da:

Da bismo pronašli treći pojam, poslužit ćemo se istim izračunom:

Zamjena vrijednosti a₂, koju smo ranije pronašli, imamo:

Ako slijedimo isto obrazloženje, možemo pronaći:

Promatrajući pronađene rezultate, napominjemo da će svaki pojam biti jednak zbroju prvog člana s omjerom pomnoženim s prethodnom pozicijom.

Ovaj izračun izražen je formulom općeg pojma P.A., koji nam omogućuje da znamo bilo koji element aritmetičke progresije.

Primjer

Izračunajte 10. član P.A.: (26, 31, 36, 41, ...)

Riješenje

Prvo, moramo prepoznati sljedeće:

The₁ = 26
r = 31 - 26 = 5
n = 10 (10. mandat).

Zamjenjujući ove vrijednosti u formuli općeg pojma, imamo:

The_Ne = the₁ + (n - 1). r
The₁₀ = 26 + (10-1). 5
The₁₀ = 26 + 9 .5
The₁₀ = 71

Stoga je deseti pojam naznačene aritmetičke progresije jednak 71.

Formula općeg pojma iz bilo kojeg k pojma

Često, da bismo definirali bilo koji generički pojam, koji nazivamo an, nemamo prvi pojam a1, ali znamo bilo koji drugi pojam, koji nazivamo ak.

Možemo koristiti formulu općeg pojma iz bilo kojeg k pojma:

Imajte na umu da je jedina razlika bila promjena indeksa 1 u prvoj formuli u k u drugoj.

Biće,

an: n-ti pojam P.A.-a (pojam u bilo kojem n položaju)
ak: k-ti član P.A.-a (pojam na bilo kojem k-položaju)
r: razlog

Zbroj uvjeta P.A.

Da biste pronašli zbroj članaka konačnog P.A., samo upotrijebite formulu:

Gdje,

s_Ne: zbroj prvih n pojmova P.A.
The₁: prvi mandat P.A.
The_Ne: zauzima n-ti položaj u nizu (pojam na položaju n)
Ne: termin pozicija

Također pročitajte o PA i PG.

Vježba riješena

Vježba 1

JKP / RJ - 2018

Znajući da su brojevi u nizu (y, 7, z, 15) u aritmetičkoj progresiji, koliko vrijedi zbroj y + z?

a) 20
b) 14
c) 7
d) 3.5
e) 2

Pogledajte Odgovor

Da bismo pronašli vrijednost z, možemo koristiti svojstvo koje kaže da će, kada imamo tri uzastopna člana, srednji pojam biti jednak aritmetičkoj sredini ostala dva. Tako imamo:

Ako je z jednako 11, tada će omjer biti jednak:

r = 11 - 7 = 4

Na taj će način y biti jednako:

y = 7 - 4 = 3

Stoga:

y + z = 3 + 11 = 14

Alternativa: b) 14

Vježba 2

MSFI - 2017

Na donjoj slici imamo niz pravokutnika, svih visina a. Osnova prvog pravokutnika je b, a sljedećih pravokutnika vrijednost je osnove prethodnog plus jedinica mjere. Dakle, osnova drugog pravokutnika je b + 1, a trećeg je b + 2 i tako dalje.

Razmotrite izjave u nastavku.

I - Slijed područja pravokutnika aritmetička je progresija omjera 1.
II - Slijed površina pravokutnika aritmetička je progresija omjera a.
III - Slijed površina pravokutnika je geometrijska progresija omjera a.
IV - Područje n-tog pravokutnika (A_Ne) može se dobiti formulom A_Ne = a. (b + n - 1).

Provjerite alternativu koja sadrži ispravne izjave.

tamo.
b) II.
c) III.
d) II i IV.
e) III i IV.

Pogledajte Odgovor

Izračunavajući površinu pravokutnika, imamo:

A = a. B
THE₁ = a. (b + 1) = a. b + a
THE₂ = a. (b + 2) = a. B. + 2.
THE₃ = a. (b + 3) = a. b + 3a

Iz pronađenih izraza primjećujemo da niz tvori P.A. omjera jednakog The. Nastavljajući niz, pronaći ćemo područje n-tog pravokutnika, koje je dato s:

THE_Ne= a. b + (n - 1) .a
THE_Ne = a. b + a. na

stavljajući The u dokazima imamo:

THE_Ne = a (b + n - 1)

Alternativa: d) II i IV.

Vježba 3

UERJ

Priznajte održavanje nogometnog prvenstva u kojem su upozorenja dobivena od sportaša predstavljena samo žutim kartonima. Te se kartice pretvaraju u novčane kazne prema sljedećim kriterijima:

• Prve dvije primljene karte ne generiraju novčane kazne;
• Treća kartica donosi kaznu od 500,00 R $.
• Sljedeće kartice generiraju novčane kazne čije se vrijednosti uvijek povećavaju za 500,00 R $ u odnosu na vrijednost prethodne kazne.

Tablica prikazuje novčane kazne povezane s prvih pet karata primijenjenih na sportaša.

Uzmimo u obzir sportaša koji je tijekom prvenstva dobio 13 žutih kartona. Ukupan iznos novčanih kazni koje su generirale sve ove kartice u stvarnim iznosima:

a) 30.000
b) 33 000
c) 36 000
d) 39 000

Pogledajte Odgovor

Točan odgovor: b) 33 000

Od trećeg žutog kartona, iznos novčane kazne povećava se u P.A. u omjeru od 500,00 R $. Uzimajući u obzir prvi pojam, a1, s vrijednošću treće karte, 500,00 R $.

Da bismo odredili ukupan iznos novčanih kazni, moramo upotrijebiti formulu zbroja uvjeta P.A.

Kako sportaš ima 13 žutih kartona, ali prva dva ne generiraju novčane kazne, napravit ćemo P.A. od 13-2 mandata, odnosno 11 mandata.

Dakle, imamo sljedeće vrijednosti:

a1 = 500
n = 11
r = 500

Da bismo pronašli vrijednost n-tog člana, a11, koristimo formulu općeg pojma.

an = a1 + (n-1) .r
a21 = 500 + (11-1) x 500
a21 = 500 + 10 x 500
a21 = 5500

Primjenjujući formulu zbroja članaka P.A.

Riješite više vježbi u:

Aritmetička progresija - vježbe

Saznajte više čitajući i:

• Numerički slijed
• Geometrijska progresija
• Geometrijska progresija - vježbe
• Matematičke formule