Jednostavne i složene kamate izračuni su kako bi se ispravili iznosi uključeni u transakcije financijska, odnosno korekcija izvršena prilikom pozajmljivanja ili ulaganja određenog iznosa tijekom razdoblja od vrijeme.
Iznos plaćen ili otkupljen ovisit će o naknadi za transakciju i razdoblju u kojem će novac biti posuđen ili uložen. Što su stopa i vrijeme veći, to je veća vrijednost.
Razlika između jednostavnih i složenih kamata
U jednostavnom interesu, ispravak se primjenjuje na svako razdoblje i uzima u obzir samo početnu vrijednost. Kod složenih kamata vrši se ispravak na već ispravljenim iznosima.
Iz tog se razloga složene kamate nazivaju i kamate na kamate, odnosno iznos se usklađuje s iznosom koji je već prilagođen.
Stoga će, za dulja razdoblja ulaganja ili zajma, korekcija složenih kamata dovesti do toga da će konačni iznos biti primljen ili plaćen veći od iznosa dobivenog jednostavnim kamatama.
Većina financijskih operacija koristi ispravak sustavom složenih kamata. Jednostavni interes ograničen je na kratkoročne operacije.
Jednostavna formula kamata
Jednostavne kamate izračunavaju se prema sljedećoj formuli:
Biće,
J: kamata
C: početna vrijednost transakcije, koja se naziva kapitalna financijska matematika
i: kamatna stopa (iznos koji se obično izražava u postocima)
t: razdoblje transakcije
Također možemo izračunati ukupan iznos koji će biti otkupljen (u slučaju ulaganja) ili iznos koji treba otplatiti (u slučaju zajma) na kraju unaprijed određenog razdoblja.
Ova vrijednost, koja se naziva iznos, jednaka je zbroju glavnice plus kamate, to jest:
Vrijednost J možemo zamijeniti u gornjoj formuli i pronaći sljedeći izraz za iznos:
Formula koju smo pronašli je afina funkcija, pa vrijednost količine linearno raste u ovisnosti o vremenu.
Primjer
Ako kapital od 1000,00 američkih dolara mjesečno donosi 25,00 američkih dolara, kolika je godišnja kamatna stopa u jednostavnom kamatnom sustavu?
Riješenje
Prvo, identificirajmo svaku količinu naznačenu u problemu.
C = 1000,00 BRL
J = BRL 25,00
t = 1 mjesec
i =?
Sad kad smo identificirali sve količine, u formulu kamate možemo zamijeniti:
Međutim, imajte na umu da je ova naknada mjesečna jer koristimo razdoblje od 1 mjeseca. Da bismo pronašli godišnju naknadu, ovu vrijednost moramo pomnožiti s 12, tako da imamo:
i = 2,5,12 = 30% godišnje
Formula složene kamate
Iznos kapitaliziran na složene kamate nalazi se primjenom sljedeće formule:
Biće,
M: iznos
C: kapital
i: kamatna stopa
t: vremensko razdoblje
Za razliku od jednostavnih kamata, kod ove vrste kapitalizacije, formula za izračunavanje iznosa uključuje eksponencijalne varijacije. Stoga se objašnjava da se konačna vrijednost znatno povećava tijekom duljih razdoblja.
Primjer
Izračunajte iznos proizveden od 2000 R $ koji se primjenjuje po stopi od 4% kvartalno, nakon jedne godine, u sustavu složenih kamata.
Riješenje
Identificirajući dane podatke, imamo:
C = 2000
i = 4% ili 0,04 po tromjesečju
t = 1 godina = 4 četvrtine
M =?
Zamjenjujući ove vrijednosti u formuli složene kamate, imamo:
Stoga će na kraju jedne godine iznos biti jednak 2.339,71 R $.
Riješene vježbe
Pitanje 1
Izračun iznosa
Koliki je iznos ulaganja od 500,00 R $, po stopi od 3% mjesečno, u razdoblju od 1 godine i 6 mjeseci, u jednostavne i složene kamatne sustave?
jednostavna kamata
Podaci:
C = 500
i = 0,03
t = 18 mjeseci (1 godina + 6 mjeseci)
Iznos će biti početni kapital plus kamate.
M = C + J
Interes je:
J = C.i.t
J = 500,0.03,18 = 270
Dakle, iznos će biti:
M = C + J
M = 500 + 270
M = 770
Odgovor: Iznos ove prijave iznosit će 770,00 R $.
Zajednički interes
Primjenjujući vrijednosti u formuli, imamo:
Odgovor: Iznos ulaganja prema režimu složenih kamata iznosi 851,21 R $.
pitanje 2
Izračun kapitala
Određeni kapital primijenjen je na razdoblje od 6 mjeseci. Stopa je bila 5% mjesečno. Nakon tog razdoblja iznos je iznosio 5000,00 R $. Odredite kapital.
jednostavna kamata
Dokazivanje C u jednostavnoj formuli kamate:
M = C + J
M = C + C.i.t
M = C (1 + i.t)
Izoliranje C u jednadžbu:
Zajednički interes
Izoliranje C u formuli složene kamate i zamjena vrijednosti:
Odgovor: Kapital mora biti 4201,68 R $.
pitanje 3
Izračun kamatne stope
Kolika bi bila mjesečna kamatna stopa na investiciju od 100 000 američkih dolara tijekom osmomjesečnog razdoblja koja je zaradila iznos od 1600,00 američkih dolara.
jednostavna kamata
Primjena formule i dokazivanje C:
M = C + J
M = C + C.i.t
M = C (1 + i.t)
Zamjena vrijednosti i numerički izračuni:
u postocima
I = 7,5%
Zajednički interes
Upotrijebimo formulu za složene kamate i podijelimo iznos s glavnicom.
pitanje 4
Izračun razdoblja prijave (vremena)
Uložen je kapital od 8000 R $ uz mjesečnu kamatu od 9%, čime je dobiven iznos od 10360,00 R $.
Koliko je dugo uložen ovaj kapital?
jednostavna kamata
Koristeći formulu
Prema tome, vrijeme je približno 3,27 mjeseci.
Zajednički interes
U ovom koraku suočeni smo s eksponencijalnom jednadžbom.
Da bismo ga riješili, poslužit ćemo se logaritmom primjenjujući logaritam iste baze na obje strane jednadžbe.
Koristeći svojstvo logaritama s desne strane jednadžbe, imamo:
5. pitanje
UECE - 2018
Trgovina prodaje TV uređaj sa sljedećim uvjetima plaćanja: predujam od 800,00 R $ i plaćanje od 450,00 R $ dva mjeseca kasnije. Ako je cijena spot televizora 1.200,00 R $, tada je jednostavna mjesečna kamatna stopa ugrađena u plaćanje
A) 6,25%.
B) 7,05%.
C) 6,40%.
D) 6,90%.
Kada uspoređujemo cijenu televizora u gotovini (1.200,00 R $) i iznos plaćen u dvije rate, primjećujemo da je došlo do povećanja od 50,00 R $, jer je plaćeni iznos bio jednak 1.250,00 R $ (800 +450).
Da bismo pronašli naplaćenu stopu, možemo primijeniti jednostavnu formulu kamate, s obzirom da je kamata primijenjena na stanje zaduženja (TV vrijednost umanjena za predujam). Tako imamo:
C = 1200 - 800 = 400
J = 450 - 400 = 50
t = 2 mjeseca
J = C.i.t
50 = 400.i.2
Alternativa: a) 6,25%
Ekvivalentnost kapitala
U Financijskoj matematici bitno je imati na umu da će se iznosi uključeni u transakciju s vremenom prebaciti.
S obzirom na ovu činjenicu, izrada financijske analize podrazumijeva usporedbu sadašnjih vrijednosti s budućim vrijednostima. Dakle, moramo imati način da napravimo ekvivalenciju kapitala u različito vrijeme.
Kada izračunavamo iznos, u formuli složene kamate nalazimo buduću vrijednost za t vremenskih razdoblja, po stopi i, iz sadašnje vrijednosti.
To se postiže množenjem izraza (1 + i)Ne po sadašnjoj vrijednosti, to jest:
Suprotno tome, ako želimo pronaći sadašnju vrijednost znajući buduću vrijednost, napravit ćemo podjelu, to jest:
Primjer:
Da bi kupio motocikl po povoljnoj cijeni, osoba je zatražila zajam u iznosu od 6.000,00 R $ od financijske tvrtke uz 15% mjesečne kamate. Dva mjeseca kasnije platio je 3.000,00 R $ i sljedeći mjesec otplatio dug.
Koji je iznos zadnjeg obroka koji je osoba platila?
Riješenje
Ako je osoba uspjela otplatiti iznos duga po zajmu, tada je iznos plaćen u prvoj rata plus druga rata jednak iznosu dugova.
Međutim, rate su tijekom razdoblja prilagođavane mjesečnim kamatama. Stoga, da bismo podudarali ove iznose, moramo znati njihove ekvivalentne vrijednosti na isti datum.
Izvršit ćemo ekvivalenciju uzimajući u obzir vrijeme zajma, kao što je prikazano na donjem dijagramu:
Korištenje formule za dva i tri mjeseca:
Stoga je posljednja uplata izvršena u iznosu od 5.675,25 R $.
Vježba riješena
pitanje 6
Zajam je dat po mjesečnoj stopi od i%, koristeći složene kamate, u osam fiksnih rata jednakih P.
Dužnik ima mogućnost otplate duga unaprijed u bilo kojem trenutku, plaćajući za to trenutnu vrijednost rata koje još treba platiti. Nakon plaćanja 5. rate odlučuje otplatiti dug prilikom plaćanja 6. rate.
Izraz koji odgovara ukupnom iznosu plaćenom za otplatu zajma je:
Odgovor: Slovo a
