Kvadratni proračun funkcije

THE kvadratna funkcija, također nazvan Polinomska funkcija 2. stupnja, je funkcija predstavljena sljedećim izrazom:

f (x) = sjekira² + bx + c

Gdje The, B i ç su stvarni brojevi i The ≠ 0.

Primjer:

f (x) = 2x² + 3x + 5,

biće,

a = 2
b = 3
c = 5

U ovom je slučaju polinom kvadratne funkcije stupnja 2, jer je najveći eksponent varijable.

Kako riješiti kvadratnu funkciju?

Pogledajte korak po korak kroz primjer rješavanja kvadratne funkcije:

Primjer

Nađi a, b i c u kvadratnoj funkciji koja je dana: f (x) = ax² + bx + c, budući da je:

f (-1) = 8
f (0) = 4
f (2) = 2

Prvo, zamijenimo x vrijednostima svake funkcije i tako ćemo imati:

f (-1) = 8
do 1)² + b (–1) + c = 8
a - b + c = 8 (jednadžba I)

f (0) = 4
The. 0² + b. 0 + c = 4
c = 4 (jednadžba II)

f (2) = 2
The. 2² + b. 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (jednadžba III)

Prema drugoj funkciji f (0) = 4, već imamo vrijednost c = 4.

Dakle, zamijenimo dobivenu vrijednost za ç u jednadžbama I i III za određivanje ostalih nepoznanica (The i B):

(Jednadžba I)

a - b + 4 = 8
a - b = 4
a = b + 4

Budući da imamo jednadžbu The jednadžbom I zamijenit ćemo u III da odredimo vrijednost B:

(Jednadžba III)

4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = - 2
4 (b + 4) + 2b = - 2
4b + 16 + 2b = - 2
6b = - 18
b = - 3

Napokon, kako bismo pronašli vrijednost The zamjenjujemo vrijednosti B i ç koji su već pronađeni. Uskoro:

(Jednadžba I)

a - b + c = 8
a - (- 3) + 4 = 8
a = - 3 + 4
a = 1

Dakle, koeficijenti zadane kvadratne funkcije su:

a = 1
b = - 3
c = 4

Korijeni funkcije

Korijeni ili nule funkcije drugog stupnja predstavljaju vrijednosti x takve da je f (x) = 0. Korijeni funkcije određuju se rješavanjem jednadžbe drugog stupnja:

f (x) = sjekira² + bx + c = 0

Za rješavanje jednadžbe 2. stupnja možemo se poslužiti nekoliko metoda, jedna od najčešće korištenih je Bhaskara formula, tj .:

Primjer

Naći nule funkcije f (x) = x² - 5x + 6.

Riješenje:

Biće
a = 1
b = - 5
c = 6

Zamjenjujući ove vrijednosti u Bhaskarinoj formuli, imamo:

Dakle, korijeni su 2 i 3.

Imajte na umu da će broj korijena kvadratne funkcije ovisiti o vrijednosti dobivenoj izrazom: Δ = b² – 4. PRIJE KRISTA, koji se naziva diskriminacijom.

Tako,

• ako Δ > 0, funkcija će imati dva stvarna i različita korijena (x₁ ≠ x₂);
• ako Δ, funkcija neće imati pravi korijen;
• ako Δ = 0, funkcija će imati dva stvarna i jednaka korijena (x₁ = x₂).

Grafikon kvadratne funkcije

Grafikon funkcija 2. stupnja su krivulje koje se nazivaju parabole. različit od Funkcije 1. stupnja, gdje je poznavanjem dviju točaka moguće nacrtati graf, u kvadratnim funkcijama potrebno je znati nekoliko točaka.

Krivulja kvadratne funkcije presijeca os x na korijenima ili nulama funkcije, u najviše dvije točke, ovisno o vrijednosti diskriminante (Δ). Tako imamo:

• Ako je Δ> 0, grafikon će presjeći os x u dvije točke;
• Ako je Δ
• Ako je Δ = 0, parabola će dodirnuti os x u samo jednoj točki.

Postoji još jedna točka, koja se naziva vrh parabole, što je maksimalna ili minimalna vrijednost funkcije. Ova se točka pronalazi pomoću sljedeće formule:

Vrh će predstavljati točku maksimalne vrijednosti funkcije kada je parabola okrenuta prema dolje, a minimalna vrijednost kada je okrenuta prema gore.

Položaj udubljenosti krivulje moguće je identificirati analizirajući samo predznak koeficijenta The. Ako je koeficijent pozitivan, udubljenost će biti okrenuta prema gore, a ako je negativna, bit će prema dolje, to jest:

Dakle, da bismo skicirali graf funkcije 2. stupnja, možemo analizirati vrijednost The, izračunajte nule funkcije, njezin vrh, a također i točku gdje krivulja presijeca os y, odnosno kada je x = 0.

Iz danih uređenih parova (x, y) možemo konstruirati parabolu num Kartezijanska ravnina, kroz vezu između pronađenih točaka.

Vježbe prijamnog ispita s povratnim informacijama

1. (Vunesp-SP) Sve moguće vrijednosti m koji zadovoljavaju 2x nejednakost² - 20x - 2m> 0, za sve x koji pripadaju skupu reala, daju se:

a) m> 10
b) m> 25
c) m> 30
d) m e) m

Pogledajte Odgovor

Alternativa b) m> 25

2. (EU-CE) Grafik kvadratne funkcije f (x) = ax² + bx je parabola čiji je vrh točka (1, - 2). Broj elemenata skupa x = {(- 2, 12), (–1,6), (3,8), (4, 16)} koji pripadaju grafu ove funkcije je:

do 1
b) 2
c) 3
d) 4

Pogledajte Odgovor

Alternativa b) 2

3. (Cefet-SP) Znajući da su jednadžbe sustava x. y = 50 i x + y = 15, moguće vrijednosti za x i g oni su:

a) {(5.15), (10.5)}
b) {(10,5), (10,5)}
c) {(5.10), (15.5)}
d) {(5.10), (5.10)}
e) {(5.10), (10.5)}

Pogledajte Odgovor

Alternativa e) {(5.10), (10.5)}

Pročitajte i vi:

• Jednadžba prvog stupnja
• Jednadžba drugog stupnja
• Vježbe povezane funkcije
• Jednadžba u srednjoj školi - vježbe
• Modularna funkcija
• Eksponencijalna funkcija
• Polinomska funkcija
• Kompozitna funkcija
• Funkcija mlaznice
• Bijektorova funkcija
• Funkcija overjet
• inverzna funkcija
• Kvadratna funkcija - vježbe
• Polinomi
• Polinomski faktoring
• Eksponencijalna funkcija - vježbe
• Matematika u neprijatelju
• Matematičke formule